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ŒUVRES COMPLETES

DE

CHRISTIAAN HUYGENS.

ŒUVRES COMPLETES

DE

CHRJSTIAAN HUYGENS

PUBLIÉES PAR LA

SOCIÉTÉ HOLLANDAISE DES SCIENCES

TOME DIX-NEUVIÈME 1937

MÉCANIQUE THÉORIQUE ET PHYSIQUE

DE 1666 À 1695.

HUYGENS A L'ACADÉMIE ROYALE DES SCIENCES.

SWETS & ZEITLINGER N.V. AMSTERDAM - 1967

Réimprimé avec le consentement de la Société Hollandaise des Sciences

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MÉCANIQUE THÉORIQUE ET PHYSIQUE

DE 1666 À 1695.

HUYGENS À L'ACADÉMIE ROYALE

DES SCIENCES.

MÉCANIQUE THÉORIQUE ET PHYSIQUE

DE 1666 À 1695.

HUYGENS À L'ACADÉMIE ROYALE DES SCIENCES.

Avertiffement.

L'idéal de Huygens, comme celui de Defcartes fon prédéceflTeur, cfl: de réduire la phyfique à la mécanique "). En face de cet accord fur le but à pourfuivre les inévita- bles différences de vue fur bien des fujets prennent Tafpeél de queftions de détail. Le père Conftantijn fe contentait de louer, en profe et en vers, la réduélion par Defcartes de tous les phénomènes aux mouvements de petites particules, non fans y ajouter avec le léger fcepticifme nullement ofFenfant d'un homme du monde : „Se non è vero, è ben trovato" =). Chrifliiaan , à qui incombait le devoir de maintenir cette philofophie corpufculaire en écartant les abfurdités manifeftes 3), s'eft acquis de cette tâche avec une perfévérance bien néerlandaife *). Cependant il ne fe pique pas d'une conféquence et de convidlions abfolues. Voyez, à la p. 565 qui fuit, le diélon : „A1 te wijs kan niet

') Dans le Chapitre Premier du „Traité de la Lumière" de 1690, qu'on trouve dans le présent Tome, Huygens parle (p. 461) de „lavraye philosophie — comparez la 4ième ligne d'en bas de la p. 481 du T. XVIII — , dans laquelle on conçoit la cause de tous les effets naturels par des raisons de mechanique".

^) Const. Huygens à Mersenne, avril 1648, T. II, p. 565.

3) C.à.d. manifestes pour Chr. Huygens: comparez les p. 1—6 du T. XVI, où il est question des règles de Descartes sur le choc des corps.

4) Voyez R. Fruin „Het karakter van het Nederlandsche volk" (1871), publié par P. J. Blok et P. L. Muller dans le T. I („Historische Opstellen") de „R. Fruins verspreide geschriften" ('s-Gravenhage, M. Nijhoff, 1900).

AVERTISSEMENT.

beginnen", c.à.d. „A force de vouloir être trop fage on ne peut rien entreprendre" '}.

Le mot „mécanique" doit être pris ici dans un fens fort ftriél : le mouvement , luivant Huygens, provient toujours du mouvement, c.à.d. du choc des atomes. Précifant ce que Defcartes avait dit fur la nature des corpufcules Huygens décide qu'il faut leur attribuer une dureté, une infrangibilité et une élafticité parfaites ^). La matière eft une 3); feules, la grandeur et la forme des particules varient. Cette forme n'eft pas néceiïairement fimple '^); il peut y avoir des particules- fquelette à pores fort larges '), des particules hérifTées auffi dont les hérifTons tantôt fe couchent, tantôt fe redreffent*^). Dans le Traité de la Lumière de 1690 il efl même queflion, exceptionnellement, de „particules molles", mais Huygens ajoute qu'elles fe compofent de fous-particules ''); la dureté de ces dernières eft fans doute abfolue ici comme partout ailleurs, confor- mément aux vues de Démocrite *).

Ce font, aux yeux de Huygens ') , des tourbillons, après comme avant l'apparition des „Principia" de Newton, qui produifent la pefanteur et le magnétisme '°).

') Comparez le premier alinéa de la Pièce No. 1944 ^ '^ P- 298 du T. VII. Voyez aussi le dernier alinéa de la p. 354 du T. XVII.

*) Voir la dernière ligne de la p. 221 du T. XVI, où il est question de la „durities insuperabilis" des particules, et la note 2 de la p. 241 du T. XVII, où nous citonse.a. la p. 168 du T. XVI: Huygens y dit que les „corpora dura quse figuram non mutant" peuvent suivre les „leges nostro- rum durorum", c.à.d. les lois des corps visibles parfaitement élastiques, quoique ces derniers ne soient pas absolument indéformables. Voir aussi les deux premières lignes de la p. 485 du T. IX et la p. 300 du T. X.

5) Voir le premier alinéa de la p. 386 du T. X cité à la p. 325 qui suit.

'*) Voir les dernières lignes de la p. 386 du T. X.

5) Voir la p. 386 qui suit.

<') Voir la p. 589 qui suit.

7) Voir la p. 484 qui suit.

*) Huygens fait mention de Démocrite e.a. dans la Préface du „Discours de la cause de la pesan- teur" (édition de 1690, voyez les p. 451 et 620 qui suivent).

Leibniz dans une lettre de 1705 à Lady Masham („Die phil. Schr. v. G. W. Leibniz", éd. C. J. Gerhardt, Berlin, Weidmann, 1887, III, p. 368) écrit au contraire: „Pour ce qui est des Atomes, je les admets, si on les tient pour des corpuscules d'une très grande petitesse; mais si on les prend pour des corpuscules infiniment durs, je ne les admets point". Comparez le deux- ième alinéa de la p. 286 du T. X.

9) Et de Leibniz.

'°) Ce qui ne l'empêche pas d'écrire à propos de la pesanteur que Newton a „fceu pénétrer les vrais fondements" (T. XVI, p. 250).

") Premiers alinéas des p. 302 et 387 du T. X. Huygens parle de la „cohesion des corps par une

AVERTISSEMENT.

C'eft, du moins en partie, grâce à la preflîon extérieure — Huygens le dit claire- ment en 1692 et 1693 — 4"^ ^^^ corps folides vifibles ne fe difloquent pas "}.

Toute explication qui ferait intervenir des forces à diftance ferait , fuivant Huygens, une explication non mécanique '-). Ceci eft conforme à la terminologie dont Newton fe fert parfois dans fes „Principia" de 1687 '3).

Le fyftème moitié cartéfien moitié original où Huygens fe complaît dans fon âge mur peut être repréfenté par le tableau fuivant dont chaque numéro indique une ma- tière fort groffe par rapport à la fuivante, mais extrêmement fine par rapport à la précédente :

1 . la matière ordinaire,

2. l'éther,

3. la matière magnétique,

4. la matière fubtile.

Les particules de la matière ordinaire n'ont pas de mouvement rapide; celles de l'air p.e., quand il n'y a pas de vent, font entaffées les unes fur les autres "^). L'éther tranfmet lalumière;la terre auneatmofphèred'éther qu'elle entraînedansfarotation* 5). Les tourbillons magnétiques ont pour pendant des tourbillons électriques "'). La matière fubtile, dont les particules fe meuvent fort librement (comme celles des gaz fuivant la conception moderne}, caufe la pefanteur et l'élaflicité apparente des corps tangibles, folides ou fluides ''}; les particules de l'air, quoiqu'en repos, ont donc un

pression de dehors et par quelque autre chose". On peut dire que, sans le vouloir, il introduit ici une cause occulte. Voyez encore sur ce sujet les p. 318 (note i) et 398 (note 3) qui suivent. À la p. 479 du T. XVIII nous avons parlé d'une „cause inconnue" de l'incitation, ce qui s'ap- pliquait p.e. au cas du ressort des corps solides. Voyez la note 17 qui suit. Voyez aussi la p. 206 du T. VII, le premier alinéa de la p. 264 du T. XVII et la p. 332 qui suit.

") Voir la note 6 de la p. 358 du T. IX.

'^) Dans le „Scholium générale" à la fin de son ouvrage Newton dit: „Quicquid enim ex phaeno- menis non deducitur, hypothesis vocanda est; & hypothèses seu metaphysicae , seu physics, seu qualitatumoccultarum,seumechanicae,in/)i»//o5o/>i&/tfVx/>fr/;«?«/'<7//Iocuninonhabent". Leçon- texte fait voir qu'en parlant d'„hypotheses mechanicae" il vise surtout la „hypothesis vorticum".

'4) Voir la note 13 de la p. 343 du T. XVII.

'5) Dans la Description du Planétaire Huygens dit avoir placé la terre et les autres planètes sur de petits disques qui représentent l'éther environnant. Voir aussi la p. 563 qui suit.

"5) Ces derniers ne font leur apparition que vers la fin de la vie de Huygens; voyez la p. 608 qui suit,

•7) T. XVI, p. 185 No. 19; T. XVII, 1. 3—4 de la p. 264; T. XIX, p. 553. Toutefois dans le Traité de la Lumière (p. 472) Huygens ne désapprouve pas l'opinion de ceux qui regardent la cause du ressort comme inconnue: voyez, à la p. 644 qui suit , le doute exprimé en 1669 par du Hamel, secrétaire de l'Académie Royale des sciences, au sujet de la théorie mécanique de l'élasticité.

AVERTISSEMENT.

mouvement „brownien" — elles „voltigent", T.XVI, p. 1 86 — , qu'on peut attribuer auflidansunecertainemefureàlapréfencederéthermis en branle par lamatièrefubtile'). D eft d'ailleurs poflible — et même à une certaine époque à peu près certain aux yeux de Huygens; voir la p. 1 86 du T. XVI — qu'il y ait encore d'autres matières intermédiaires entre l'air et la matière fubtile *). Il fe peut auiïi que les particules, de l'éther p.e. , foient compofées de particules plus petites et qu'il y ait un „progrès infini de différentes groflfeurs de corpufcules" 3}. Le mot „infini" ne doit pourtant pas être pris à la lettre ').

Il eft évident que le Huygens auteur et propagandifte de ce fyftème n'eft pas Huy- gens tout entier. Dans r„Horologium ofcillatorium" ainfi que dans toutes les autres Pièces du T. XVIII, comme nous l'avons obfervé aux p. 45 et 470 de ce Tome, la mécanique des atomes ne joue aucun rôle.

Quant au préfent Tome, il ne contient pas feulement des Pièces où la théorie des atomes prédomine, mais auffi, comme le Tome précédent dont nous venons de parler, des Pièces phénoménologiques ou, fi l'on veut, defcriptives. D'ailleurs, dans les Pièces qui traitent de la mécanique des atomes, comment féparer l'explication de la defcription? Force eft de commencer, fi l'on veut procéder méthodiquement, par dire quel eft le groupe des phénomènes obfervables que la théorie des particules fe propofe d'embrafler. Ce n'eft qu'après avoir montré ou rendu plus ou moins probable qu'elle l'embrafle en effet, qu'on peut fe hafarder à prédire, à l'aide du fyftème ex- plicateur, de nouveaux phénomènes '^).

Il ne pouvait être queftion dans la théorie du mécanifme univerfel de forces accé- lératrices préexiftantes. Au contraire, chez Huygens ce font les mouvements, tant dans les collifions que dans les rotations des corps '), qui engendrent les forces. En

') Voir la p. 47 1 qui suit: Il [c. à. d. l'air] eft fait de petits corps qui nagent et qui font

agités fort vite dans la matière etherée, compofee de parties bien plus petites.

Les particules de l'éther peuvent évidemment être frappées non seulement par la matière

subtile, mais aussi par la matière ordinaire (p. 469 et 475). *) Voir les p. 243 et 332 qui suivent. Sur l'identification der„airsubtil"avecrétherconsultezlap.

563. Il est question, paraît-il, d'une autre matière subtile dans la 1. 14 de la p. 579; comparez

la P- 333» note 3. 3) P. 472 qui suit. T. X, p. 431, note /. *) Comparez le deuxième alinéa de la p. 300 du T. VII et la Préface de Huygens du „Traité

de la Lumière".

AVERTISSEMENT.

ce fens fa conception eft plus ou moins le contrepied de celle de Newton"^}. Il eft vrai que dans la mécanique claflique du dix-huitième fiècle on a fini, contrairement aux vues de Newton, par confidérer les forces agiflant à diftance comme abfolument „mécaniques" ''}.

Vers 1 850 Helmholtz, partifan lui aufli de l'idée que tous les phénomènes phyfiques doivent être réduits à la ^mécanique" *), ne parle que de forces confervatives agilTant à diftance '). Chez Huygens , premier auteur (confultez le quatrième alinéa et la note 2 de la p, 1 64 qui fuit} qui ait tâché de donner une forme exaéle au principe de la con- fervation des „vires" '°), de pareilles forces, nous l'avons dit, n'exiftent point "}.

5) Voyez le dernier alinéa de la p. 246 du T. XVI et la p. 659 du T. XVIII.

*^^ Et aussi de celle de J. L. Lagrange qui écrit dans sa „Mécanique analytique" de 1788 (Première Partie, Seftion I): „On entend en général par force ou puissance la cause [nous soulignons], quelle qu'elle soit, qui imprime ou tend à imprimer du mouvement au corps auquel on la suppose appliquée".

7) En 1730 Jean Bernoulli écrivait encore, en défendant les tourbillons: „Je crois avoir trouvé un expédient tout particulier pour expliquer la gravitation des Planètes par une cause /»«rf- ment méchanique Çcomparez li note 13 de la p. 5), sans recourir ni à Patfraâion, ni au vuiJé''' („Nouvelles t'ensées sur le Système de M. Descartes, Ch. X;Joli. Bernoulli, Opéra Omnia III, Lausannae&Genevae, M. M. Bousquet). Mais Lagrange écrit dans sa „Mécanique analytique" (Seconde Partie, Seétion VII): „0n peut ranger en trois classes tous les systèmes de corps qui agissent les uns sur les autres et dont on peut déterminer le mouvement par /es lois de la Mécanique; car leur aftion mutuelle ne peut s'exercer que de trois manières différentes qui nous soient connues, ou par des forces d'attraStion, lorsque les corps sont isolés, ou par des liens qui les unissent, ou enfin par la collision immédiate. Notre système planétaire appar- tient à la première classe".

*) „Das Endziel der Naturwissenschaften ist, die allen anderen Verânderungen zu Grunde liegenden Bewegungen und deren Triebkrâfte zu finden, also sich in Mechanik aufzulôsen („Ueber das Ziel und die Fortschritte der Naturwissenschaft", 1 869).

») H. Helmholtz „Ueber die Erhaltung der Kraft", Berlin, G. Reimer, 1847, Einleitung: „Die Herleitung der aufgestellten Sâtze kann von zwei Ausgangspunkten angegriffen werden, entweder von dem Satze, dass es nicht môglich sein kônne, durcli die Wirkungen irgend einer Combination von Naturkôrpern auf einander in das Unbegrenzte Arbeitskraft zu ge- winnen, oder von der Annahme, dass aile Wirkungen in der Natur zuriickzufûhren seien auf anziehende und abstossende Krâfte, deren Intensitat nur von der Entfernung der auf einander wirkenden Punkte abhangt. Dass beide Sâtze identisch sind [plus tard l'auteur apporta des restriftions à cet énoncé], ist im Anfang der Abhandlung selbst gezeigt worden." Helmholtz ajoute : „FehIerhaft ist es, die Materie fur etwasWirkliches, die Kraft fur einen blossen BegrifF erklâren zu wollen, dem nichts Wirkliches entsprâche; beides sind vielmehr Ab- straftionen von dem Wirklichen, in ganz gleicher Art gebildet".

'°) Comparez la p. 477 du T. XVIII, dont il est question aux p. 8 — 9 qui suivent.

") Voir encore à ce sujet la 1. 8 de la p. 288 du T. VII (lettre de P. Perrault de 1673). Nous citons cette lettre de P. Perrault à la p. 332 qui suit.

8 AVERTISSEMENT.

U mérite fans doute d'être obfervé que c'eft apparemment — le contexte l'indique — Huygens le phénoménologue qui énonce en 1693 le principe en queftion. Il n'affirme pas en cet endroit que tout „efFeétus éditas et exftans" eftune énergie') qu'on pour- rait appeler aftuelle. Mais l'axiome, appliqué à la coUifion de deux ou plufieurs particules, dit que la fomme de leurs forces vives demeure confiante, ce qui n'avait été démontré jadis (Prop. XI du Traité „De Motu Corporum ex Percufîîone", T. XVI, p. 73} que pour le choc central de deux fphères homogènes *}. Et en admettant qu'il n'exifte aucune énergie qu'on pourrait appeler potentielle, l'axiome affirme — ce que LaflTwitz dans fa „Gefchichte der Atomiftik" dit, non fans raifon, être l'opinion de Huygens î) — que la force vive totale des particules qui conftituent l'univers garde conftamment la même valeur. Toutefois il ne faut pas, nous femble-t-il, en expofant les idées de Huygens, tâcher d'être plus conféquent qu'il n'a pu l'être lui-

') Nous remarquons que les mots „énergie, aéhiel, potentiel, force vive" ne font pas partie du vocabulaire de Huygens (voyez la note 6 de la p. 359 du T. XVI et comparez aussi la p. 176 qui suit).

^) Dans sa Lettre de 1669 (T. XVI, p. 181) Huygens disait croire au principe de la constance de la q'.antité de mouvement dans une direftion donnée pour des corps quelconques (com- parez la note 5 de la p. 221 du même Tome et, à la p. 164 qui suit, le § 3). Il est possible que déjà en ce temps il ait cru aussi à la constance, dans les collisions de corps durs quelconques, de la somme de leurs forces vives: il écrit (T. XVI, p. 180): „La somme des produits faits de la grandeur de chaque corps dur, multiplié par le quarré de sa vitesse, est toujours la mesme devant & après leur rencontre"; il substitue donc, comme dans toute cette Pièce, le mot „corps" au mot „sphére". Mais dans cet énoncé il n'est question que de corps durs dont tous les points ont la même vitesse linéaire. Ce n'est qu'après être parvenu à la notion du „moment d'inertie" et après avoir compris (en ou avant janvier 1693) que la force vive totale d'un corps dur se compose de sa force vive de translation et de sa force vive de rotation autour du centre de gravité (voir sur ces sujets les p. 378 du T. XVI et 433 — 436 du T. XVIII) que Huygens eût pu dire clairement comment on doit entendre la constance de la somme des forces vives dans la collision des particules.

Voyez toutefois, soit dit en passant, le troisième alinéa de la p. 660 du T. XVIII qui traite de la question de la relativité du mouvement.

La croyance à la constance de la force vive dans le cas des collisions peut être justifiée sans qu'il soit besoin d'entrer dans la considération des détails du mouvement. Elle repose évidem- ment sur l'axiome de la réversibilité du mouvement des corps durs. En effet, si la force vive pouvait diminuer par une collision réversible, le mouvement inverse produirait une augmen- tation de cette force, de sorte que le perpetuum mobile ne serait pas une chimère. Dans le T. XVIII (p. 461, 469 — 477) nous avons déjà fait ressortir que l'axiome général de Huygens provient de sa conviftion de la non-existence du moteur perpétuel (ce qui s'applique apparem- ment aussi à Helmholtz, note 9 de la p. 7; nous ne parlons pas ici de ses précurseurs du I9ième siècle).

3) „Geschichte der Atomistik" par K. Lasswitz, Hamburg et Leipzig , "K, Voss , 1 890 , II , pag. 373 : „Das Prinzip, dass die Steighôhe des Pendels gleich seiner Fallhôhe ist , bedeutet bei Huygens

AVERTISSEMENT.

même. Pour Huygens phénoménologue les preflions extérieures, p.e. celles des dents des roues d'une horloge les unes fur les autres, les tenfions des cordes, la force de la gravité etc. ont évidemment la même importance que pour Archimède, pour Héron et Pappus '^), pour Stevin ou pour Newton. Et le travail de ces forces'}, tel qu'il fema- nifefte p.e. par l'élévation d'un poids, produit un „efFe6lus editus et exftans", équi- valent à ce travail, fur la nature duquel l'axiome de 1693 '') ne fe prononce pas'').

nur den abgekiirzten Ausdruck fiir eine Uebertragung kinetischer Energie der Atome des Gravitationsfliiidums an das fallende Pendel, iind wiedenim des steigenden Pendels an die ersteren; iinmer aber ist die iebendige Kraft aktiiell in der Materie vorhanden, niir an ver- schiedenen Teilen der Materie in verschiedenen Teilen des Raumes".

L'axiome de Huygens est de février 1693; c'est également en février 1693 qu'il dit (T. X, p. 404) que la chaleur consiste en un mouvement de particules.

4) Voir sur la Statique de Pappus la note 4 de la p. 23 qui suit.

5) Voir sur l'expression „travail d'une force" les notes 5 et 6 de la p. 341 ainsi que la note 5 de la p. 358 du T. XVI et la note 6 de la p. 579 du T. XVIII. Consultez aussi les p. 51 — 52 et la note 2 de la p. 160 qui suit.

'^) Remarquons en passant qu'on ne trouve aucun axiome ni proposition de ce genre chez Newton. '') Comparez la note 1 1 de la p. 4 qui précède.

2

STATIQUE.

Avertiffement.

En juin 1 675 le gouvernement français tâcha d'obtenir des Académiciens un traité de mécanique théorique et pratique '}. Roberval — voir fur lui les p. 442 — 456 du T. XVIII et l'Appendice II qui fuit (p. 181) — prit encore part aux travaux auxquels cette demande donna naiffance, mais il mourut dans cette même année ^}.

On avait déjà traité à l'Académie de problèmes de ftatique en 1667 3), 1668'^),

') „Die 22 Junii D. Perrault à D. Colbert missus, qiia: Régis ea de re voluntas esset exposuit, nimiriim ut parsoperis prœcipua in explicandismacliinisversareuir;qu?eadtheoriam pertinent, pritfationis aut introduaionis instar forent" („Regia; Scientiarum Academise Historia", siètne édition de i7oi,de J. R. du Hamel, p. 152). Ceci correspond au texte français de la f. 44 V. du T. VIII des Registres de l'Académie (nous parlons des Registres dans l'Appendice I à la p. 179 qui suit). Comparez les 1. 2—4 de la p. 32 du T. XVIII.

^) Voir sur tout ce qui se rapporte à la demande du gouvernement français les p. 150 — 156 de r„Historia" de du Hamel. L'Académie décida „q\\œ ad theoriam aut introduaionem speftant D. D. Hugens, Picard, Mariotte, Blondelunàelaborarent,&quisqueeaderesuasmeditationes in commentarios redigeret; atque his inter se collatis ad Academiam referrent, quô in certum ordinemredigerentur".(EnfrançaisRegistresderAcadémie,T.VIIIf.45). Ce travail eut-il lieu? C'est à Roberval que du Hamel (Historia, p. 153) attribue la Pièce dont il est question dans notre Appendice II à la p. 183 qui suit.

3) Note 6 de la p. 96 du T. IX. La p. 163 du T. II des Registres de l'Académie des Sciences dit, à la date du 2 1 mai i667:„Mercredy prochain on commencera d'examiner la Statique de Stevin". Voyez aussi la fin de la note i de la p. 51 qui suit.

*) En avril 1668 on s'occupa, d'après les Registres, de ce que Hérigone dans son Cours avance sur la Statique.

14 AVERTISSEMENT.

167a, 1673, 1674: voir fur ces quatre dernières années les notes i et 3 de la p. 23, la note 6 de la p. 33 et la note 2 de la p. 37, ainfi que les p. 40, 70 qui fuivent.

Il nous femble que dès 1667 on a entrevu la poffibilité de conftituer, une fois pour toutes, une Statique où les propofitions néceffaires pour réfoudre toutes les queftions pratiques — du moins pour des corps rigides et des cordes inextenfibles et impondé- rables — feraient logiquement déduites d'un petit nombre de principes plaufibles.

Bientôt après la création de l'Académie Huygens — comme probablement d'autres membres auffi (voyez la note 3 de la p. 95) — avait eu l'idée de faire des „parties des mechaniques", conformément à la maxime de Defcartes'), un dénombrement complet. La page du MVnufcrit C (p. 23 qui fuit} qui porte ce titre, date, d'après la place qu'elle occupe, de 1667 ou d'un des deux premiers mois de 1668. Deux Pièces du même genre, déjà mentionnées dans la note 6 de la p. 247 du T. XVII, font écrites fur des feuilles féparées. La deuxième, intitulée: „Ordre qu'on pourra tenir à traiter des Mechaniques" (p. 26 qui fuit) — nous en avons déjà publié une partie aux p. 481 — 482 du T. XVIII — date certainement d'avant 1673, comme nous l'avons dit dans la note nommée. D'autre part elle ne peut être antérieure à 1667, puifqu'il y eft dit à propos de „la ftatique des poids fufpendus par plufieurs cordes diverfement tendues" que „nous en avons traité fuffifaimnent cy devant dans notre AfTemblee". Nous fuppofons qu'elle efl: de 1667 ou du commencement de 1668 comme la pre- mière, intitulée „Parties à confiderer dans les Mechaniques", qui n'efi: guère qu'une paraphrafe de celle du Manufcrit C. Suivant les Registres de l'Académie (T. I, p. 250) „Mr Hugens a lu fon projet des Mechaniques" le 25 janvier 1668 ^).

A propos des efforts de coordination de Huygens et d'autres membres de l'Acadé- mie, fpontanés ou dus à la follicitation de Colbert — on voit, en lifant les pages de r„Hifl:oria" de du Hamel (note i et 2 de la p. 1 3) que le gouvernement en 1 675 défirait un traité fur d'autres machines encore que celles énumérées par Huygens 3) — , il con-

^) Discours de la Méthode, Deuxième Partie, quatrième maxime.

^) Comparez la p. 95 qui suit.

3) Voyez sur les machines énumérées par Huygens en 1667 ou 1668 les dernières lignes de la Pièce

I A à la p. 25 qui suit. Du Hamel parle aussi de machines qui „ad agriculturam aut ad naviga-

tionem speâant".

AVERTISSEMENT. 1 5

vient de rappeler la demande de 1637 de Conftantijn Huygens père à Defcartes, ne fe rapportant qu'à la ftatique, à laquelle Defcartes répondit par l'envoi de fon petit traité de la même année „Explication des engins par l'ayde defquels on peut avec une petite force lever un fardeau fort pelant", dont nous avons parlé auffi à la p. 342 du T. XVI *'). Defcartes y partait du principe que la „force" (c.à.d. le travail, comparez la p. 469 du T. XVIII} nécelTaire pour élever des poids différents à des hauteurs différentes garde même valeur lorfque le produit du poids par fon afcenfion ne change pas. (C'ell: du moins dans ces termes qu'on peut avec P. Duhera énoncer le principe, quoique Defcartes ne parle pas expreffément à\x produit du poids par fon afcenfion; comparez nos obfervations des p. 336 — 343 du T. XVI). D'ailleurs dans le cas de la vis Defcartes parle auffi d'une force qui n'efl pas celle de la pefanteur; voir la fin de la note 4 de la p. 23 qui fuit.

Dans la Pièce „Ôrdre qu'on pourra tenir à traiter des Mechaniques" (comme dans les deux autres Pièces femblables) Huygens ne parle pas feulement de flatique. Mais dans" le préfent AvertifTement nous devons nous borner à la confidération de ce qu'il dit fur cette partie de la mécanique. Or, fidèle à l'efprit de Defcartes, il s'exprime comme fuit à propos des appareils de levage et autres appareils à mouvements lents qui augmentent la force: „I1 faudroit examiner de fuite toutes ces puifrances,defquel- les quoyque la théorie ait eftè traitée par plufieurs auteurs, elle ne l'a pas efi;è fi bien, qu'il n'y refte encore a travailler et a l'efclaircir davalitage, en cherchant un principe certain et commun auquel toutes puifTent eftre réduites". Il veut dire évidemment qu'il faut précifer le principe des déplacements (ou des vitefTes) mentionné tant par Defcartes que par beaucoup d'autres auteurs et provenant en dernier lieu des grecs 5). En 17 17 Jean BernouUi^} formulera le principe comme fuit: „En tout équilibre de

'») Ce petit traité fut publié en 1668 (Paris, Ch. Angot) sous le titre: „Explication des machines et engins par l'ayde desquels, etc." par N. Poisson, avec des „Remarques sur les Mechaniques de Monsieur Descartes". Dans cette édition la Pièce fait suite au „Discours de la Méthode etc." de Descartes. On y trouve aussi un abrégé de la Musique de Descartes avec des „Elucidationes".

s^) On ie trouve déjà, en connexion avec la dynamique péripatéticienne, dans les M>î;/av<xâ attri- bués à Aristote. Comparez la fin du premier alinéa de la note 4 de la p. 23 qui suit.

'') Voir la p. 359 du T. XVI, ou les p. 1 74 — 176 du T. II de la „Nouvelle Mécanique" de Varignon , publiée en 1725. Dans la lettre de Bernoulli publiée à l'endroit cité-^du livre de Varignon et dont nous ne citons qu'une partie dans le texte,il est question de déplacements quelconques compa- tibles avec les liaisons. Bernoulli désigne ces déplacements par „petits mouvements", ce qui veut dire „mouvements infiniment petits", puisqu'il parle d'un „angle infiniment petit" correspon- dant à un de ces mouvements.

l6 AVERTISSEMENT.

forces quelconques, en quelque manière qu'elles Ibient appliquées, et fuivant quel- ques direéHons qu'elles agiiïent les unes fur les autres, ou médiatement ou immédia- tement, la fomme des Energies affirmatives fera égale à la fomme des Énergies néga- tives prifes affirmativement" (comparez fur le mot „énergie", c.à.d. travail d'une force, les notes i et5desp.8 — 9 qui précèdent). Ni les Anciens ni Defcartes ne parlent, comme le fait BemouUi, d'un principe de déplacements virtuels^ c.à.d. de déplace- ments quelconques compatibles avec les liaifons d'un fyftème en équilibre. Quant à Huygens — Lagrange ne l'a pas fu '} — ce font bien des déplacements infiniment petits virtuels qu'il confidère en fpartoftatique (Pièce VII § i à la p. 5 1 qui fuit). C'efl: ce qu'indiquent déjà les figiu'es de 1 659 des p. 394 — 395 du T. II, mentionnées aufïï aux p. 331 — 332 et 379 du T. XVI. Il n'efl: pas queftion, il efl: vrai, dans ces figures de forces abfolument quelconques, mais feulement de tenfions de cordes pas- fant par des poulies et portant des poids. Mais il efl: évident que la tenfion d'une corde eft de la même nature que ce foit un poids qui tire ou p.e. une main humaine : comparez la note i de la p. 310 du T. XVI; et dans le troifième alinéa de la p. 27 qui fuit Huygens dit généralement qu'on peut comparer toutes les autres forces aux poids. Il s'agit évidemment chez lui d'un principe qu'il peut rendre plaufible par le raifonnement mais qu'il lui eft impofllble de démontrer: comparez les notes 5 et 6 de la p. 31.

Dans l'application du principe ancien on peut , avec Duhem *) , faire une diftinftion entre les auteurs qui fe fervent du principe des vitejjes et ceux qui adoptent celui des déplacements. Cette diftinélion, là où il y a lieu de la faire, n'a guère que des raifons hiftoriques, puifqu'il eft évident, du moins lorfqu'on ne confidère pas de déplacements finis là où il faudrait les prendre infiniment petits, qu'il eft fort indifférent s'ils font, oui ou non, divifés dans tous les termes de l'équation par le même temps. Huygens — voyez la Pièce II de 1676 qui occupe les p. 29 — 33 — parle indifféremment de vitefTes et de déplacements.

On peut confidérer des déplacements y?«/V lorfqu'il s'agit d'un cas d'équilibre in-

') ^Mécanique Analytique",Première Partie, Section I § 17: ,Jean Bernoulli est le premier, que je sache, qui ait aperçu cette grande généralité du principe des vitesses virtuelles, et son utilité pour résoudre les problèmes de Statique."

*) „Les Origines de la Statique", passim.

AVERTISSEMENT. 1/

différent. Huygens favait évidemment fort bien quand il efl: néceflTaire de prendre des déplacements infiniment petits et quand ceux-ci peuvent être finis: en confidérant les cas traités par lui en 1646 de la chaînette (T. I, p. 40, Axiome 2) et en 1659 des poids fe tenant en équilibre fiir deux plans inclinés (T. XVI, p. 380), nous avons vu qu'il parle refpeftivement d'un centre de gravité fîtué aufjî bas que pofjihle et d'un centre de gravité qui refte à la même hauteur même lorfque les déplacements des poids font finis ; mais il ne formule pas nettement la diftinélion entre les différents cas d'équilibre, comme Lagrange, en partant du même principe 3), devait le faire vers la fin du dix-huitième fiècle *).

Dans fon petit traité Defcartes n'avait parlé du levier qu'en dernier lieu '). Dans la Pièce „Ordre qu'on pourra tenir etc." Huygens dit au contraire — en parlant, il eft vrai, uniquement du levier tel qu'il fe rencontre dans la balance, tandis que Defcartes, comme les Anciens, dans l'énumération des cinq puiflances, parlait de la barre, bafculant autour d'un point d'appui, dont on fe fert poui foulever un fardeau gifant à terre — que la propofitionfondamentaledes Aequiponderantiad'Archimède*) doit être examinée à l'Académie „devant toutes chofes". Nous avons déjà publié dans le Tome XVIII (p. 4 1 1 — 4 1 2) une courte Pièce de 1 666 fur ce fujet. Nous réimpri- mons plus loin (p. 42 — 47) la Pièce (V, C) qui a paru en 1693 dans les „Divers Ouvrages de mathématique et de phyfique" fous le titre „Demonftration de l'Equi- libre de la Balance". Huygens l'avait envoyée à de la Hire en feptembre 1 686 (T. IX,

3) Il est vrai que Lagrange écrit («Mécanique analytique". Première Partie, Section I,§ 18): „Quant à la nature du principe des vitesses virtuelles, il faut convenir qu'il n'est pas assez évident par lui-même pour pouvoir être érigé en principe primitif. ... Il y a en Statique un autre prin- cipe général et indépendant du levier et de la composition des forces, quoique les mécaniciens l'y rapportent communément, lequel paraît être le fondement naturel du principe des vitesses virtuelles: on peut l'appeler le principe des poulies. Etc."

4) «Mécanique analytique". Première Partie, Seftion III, §§ 26 et 27.

5) P. Duhem («Les Origines de la Statique", 1905, 1, p. 338) dit: «Deseartes est le premier qui ait nettement affirmé le caractère infinitésimal du principe des déplacements virtuels"; P. 150: «il a donné à ce principe sa forme définitive". C'est vrai en ce qui regarde le caractère infini- tésimal du principe; Duhem fait allusion ici à ce que Descartes a écrit à propos du levier. Mais le mot «virtuels" nous semble déplacé. Dans le cas du levier , comme dans celui des autres engins , Descartes ne considère que des déplacements réels, ainsi que nous l'avons dit un peu plus haut.

*') «De Planorum a."quilibriis sive de centris gravitatis planorum". Voyez la note 3 de la p. 29 qui suit.

l8 AVERTISSEMENT.

p. 95). Suivant la note 5 de la p. 96 du T. IX cette Pièce aurait été communiquée à l'Académie déjà le 1 5 février 1 668 , mais il efl: impoflible — quoique Huygens ait parlé le 15 février 1668 fur ce fujet (p. 37, note 2) — qu'il en ait été ainfi. Il eft vrai que les p. 234 et 238 du Manufcrit C, datant peut-être d'un des derniers jours de février 1668 '), contiennent une Pièce fur l'équilibre en queftion (Pièce V, A § 2 de la p. 37 qui fuit); mais la p. 238 nommée porte auifi la date „avril 1 672" ce qui in- dique que la fuite de la Pièce (notre Pièce V, A, § 3 , 4) efl: de cette année-là. Et les „Chart2B mechanicse" contiennent une autre Pièce fur le même fujet (notre Pièce V, B de la p. 40) qui fut lue à l'Académie le 2 décembre 1673. La Pièce envoyée en 1686 a donc apparemment été rédigée encore plus tard ^). On voit que le problème n'a cefTé de préoccuper Huygens. Lagrange (Mécanique analytique", Première Partie, Seétion I §§ 1 — 4) approuve la démonfl:ration de Huygens, quoiqu'il penfe pouvoir la rendre encore plus flringente. Voyez auffi fur ce fujet la notQ_i de la p. 47 qui fuit.

La quefliion de la „potentia rumpens", p.e. dans le cas des poutres, traitée auffi par Galilée dans fes „Difcorfi e demofl:razioni" de 1638, peut être confidérée comme faifant également partie de la Statique. Nous avons vu (T. XVI, p. 333 — 336, 381 — 383) que Huygens s'était déjà occupé de cette queftion en 1662 et qu'il avait fait en cette occafion une application originale du principe que le centre de gravité tend à defcendre autant que poffible. Ni Galilée ni Huygens ne confidèrent encore, à propos de la rupture, la déformation élaftique des folides. C'eft de la rupture (com- parez la note i de la p. 28 qui fuit) que traite la Pièce VIII aux p. 6ç et fuiv.; les §§ datent refpeftivement de 1669, de 1671 et de 1688 ou 1689. Le dernier donne la même folution que la Pièce de 1662, mais obtenue par une autre méthode.

Somme toute en regardant les dates des différentes Pièces de Huygens fur la Sta- tique, on ne voit pas que la demande ^e 1675 du gouvernement ait eu de l'influence fur leur genèfe. Ceci s'applique même à la Pièce VI de la p. 48 qui fuit — elle date

') La p. 231 porte la date du 25 février 1668.

^) Plus précisément: le début de la Pièce envoyée en 1686 a été rédigé plus tard. Car la rédaftion de la Proposition III, qui est la Proposition principale, n'a subi, depuis décembre 1673, aucun changement (abstradion faite des corredions fort peu importantes dont il est question dans la note 3 de la p. 42 qui suit).

AVERTISSEMENT. 1 9

de mai ou juin 1 668 — où Huygens, comme d'autres membres (voir le § 2 de la Pièce), traite la queftion de la grandeur des roues des charrettes deftinées à rouler fur des chemins raboteux ou, pour parler plus clairement, celle du tranfport des canons 3). Puifqu'il y confidère la force avec laquelle les chevaux doivent tirer pour faire fur- monter aux roues, lorfque la voiture part du repos, un obftacle de hauteur donnée, nous pouvons dire qu'il s'agit ici d'un problème de ftatique. — Il paraît toutefois ex- trêmement probable que l'examen de cette queftion foit due à l'inftigation direfteou indireéle du gouvernement. C'efl: donc auffi pour agir dans l'efprit du gouvernement, nous femble-t-il, que Huygens parle en 1667 ou 1668 de la „conftru(5tion de diver- fes machines" '^) : dès la création d'une Académie officielle, on a nourri l'efpoir que fes travaux auraient des réfultats utiles pour la fociété (comparez la note 3 delà p. 1 4 5).

Dans le préfent Tome nous évitons autant que pofïïble les quelHons purement techniques; mais il efl: évident qu'on ne peut pas féparer p.e. les expériences faites dans le vide de la defcription de l'appareil pneumatique ou pompe à air.

3) Fig. 21.

^) Comparez le quatrième alinéa de la Pièce N° 1568 (de 1666?) du T. VI.

5) VoirduHamel(„Historia",Cap.I):„Qus rationes moverintRegemChristianissimum,ut Scien- tiarum Academiam institueret". À la p. 1 54 il parle des machines („varia machinarum gênera") construites en ou après 1675. On trouve la description de celles construites depuis 1666 jusqu'en 1701 dans le T. I des„Machineset Inventions approuvées par l'Académie Royale des Sciences" par Gallon (Paris, 1735).

D'après le T. II des Registres de l'Académie (p. 1 6 1 ) , déjà en avril 1 66-j „Monsieur Auzout a proposé que quelques uns de la Compagnie eussent commission de voir tous les ouuriers, voir leurs, instrumens, scauoir ce qui leur manque, apprendre leurs secrets, leurs sophisteries &c. Monsieur de Carcaui a tesmoigné que la chose se pourroit faire aisément par le moyen des ouuriers qui trauaillent pour le Roy". Et en février 1668 (T. I, p. 255) „M^ Auzout a lu son mémoire pour faire des modelles de machines".

Nous parlons plus loin (p. 128 et suiv.) d'une des deux inventions de Huygens qu'on trouve dans le recueil de Gallon, savoir la ^machine pour mesurer la force mouvante de l'air"; quant à l'autre, la „maniere d'empescher les vaisseaux de se briser lorsqu'ils échouent", ou la trouvera dans un des Tomes suivants.

STATIQUE.

I. Programmes (se rapportant X la mécanique en général). IL Considérations générales sur les engins statiques (les cinq puissances DES Anciens).

III. Equilibre d'un corps sur un plan incliné (équilibre indifférent).

IV. Equilibre de deux verges (équilibre stable). V. Equilibre de la balance.

VI. Force nécessaire pour faire surmonter X la roue d'une chaurette un

obstacle donné. VII. Spartostatique. VIII. Rupture de poutres etc.

IX. Hydrostatique.

I.

PROGRAMMES.

I A. PARTIES DES MECHANIQUES ')• [1667 OU 1668]

Les 5 manières d'augmenter la force en l'appliquant plus longtemps *), qui font le levier, le plan incliné, le coin, la vis, la poulie 3).

Je ne voudrois pas compter le coin pour une de ces puiffances, puis que ce n'efl: que le plan incliné poufïe par le coup du marteau.

Les roues dentées fe raportent au levier, la vis fans fin, a la vis et au levier.

L'axis in peritrochio au levier, ou pluftofl: que ce foit la 5.^ puiflance '^).

') Manuscrit C, p. 218. La p. 203 porte la date du 5 septembre 1667 et la p. 231 est datée: 25 feb. 1668. Voir sur cette Pièce le troisième alinéa de la p. 14 qui précède.

'') C. à. d. en employant plus de temps, que lorsqu'on se sert d'une grande force, pour lever un fardeau à une hauteur déterminée ou accomplir un autre travail donné.

3) D'après le T. III (p. 2 — 6) des Registres de l'Académie des Sciences Buot et Roberval parlèrent des poulies et du plan incliné en avril et mai 1668. Voyez, encore la note 6 de la p. 33 qui suit.

'>) L'expression â'fwv h TZi^iT^Mylw, qui désigne le treuil lorsque l'axe est horizontal, ou le cabestan s'il est vertical, se trouve chez Pappus dans le § 31 du Livre VIII de sa DuvaywyÀ. Dans ce § il traite des cinq puissances, savoir le treuil (ou cabestan), le levier, la moufle ou Tro^iûaTraffrov (appareil à poulies), le coin, et la vis sans fin. Huygens connaissait non seulement les deux éditions de Pappus (de 1588 et 1660, voir la p. 259 du T. II), mais aussi le manuscrit grec dont il parle en 1657 (T. II, p. 110). Le § nommé de Pappus est d'ailleurs emprunté aux Méca- niques d'Héron d'Alexandrie. Au dix-septième siècle on ne connaissait guère l'ouvrage d'Héron. Toutefois Golius en avait apporté de l'Orient un manuscrit arabe — Cod. Leidensis DCCCCLXXXIII Cod. 51 (i) Gol. — dont il fit une traduction latine, aujourd'hui inconnue; un fragment a été publié par A. Brugmansen 1785 sous le titre: „SpecimenmechaniciEveterum permcchanicam recentiorem plenius expositum" dans lesComment. Societatis régime scientiarum Gottingensis, vol. VIL Golius — comparez la note 8 de la p. 41 du T. XVIII — peut avoir montré cette traduftion à Huygens ou du moins avoir causé avec lui sur ce sujet. (Le manuscrit arabe a été publié, en français, par Carra de Vaux en 1894, Paris, imp. nationale; on peut le consulter aussi — textes arabe et allemand — dans l'édition de i9oodeL. NixetW. Schmidt). Les cinq puissances de Huygens seraient à peu près — voir l'alinéa suivant — les mêmes que celles de Pappus, si l'on substituait le treuil (ou cabestan) au plan incliné (au lieu de le substi-

24 STATIQUE.

La percuflîon dont la force efl: infinie, et fert a une infinité de chofes '}. La force mouvante du vent ^), aux moulins et aux voiles des vaifieaux. La force mouvante de l'eau, courante et tombante. La force des reflorts, ou il faut des expériences.

La refiftence des corps a eftre rompus, et des figures pour les rendre également forts par tout 3).

Le PrefTement de l'eau, et la vitefTe de fon écoulement.

Des Pompes.

La Statique des corps flottans fur l'eau, et de leur pofitions*).

Les centres de gravité.

La ftatique des poids fouftenus par plufieurs cordes.

La force du mouvement circulaire à rejetter du centre ^^.

tuer, avec Huygens, au coin). Observons en passant que Pappus traite dans sa iwaiyw/n (Livre VIII, § lo) de l'équilibre d'un corps placé sur un plan incliné, mais que sa théorie est entière- ment erronée; Héron, qui ne connaissait pas non plus la règle de la composition des forces, avait parlé brièvement du même sujet dans le § 23 du Livre I de sa Mécanique. Quant à la théorie des cinq puissances, Pappus se contente de dire (traduftion de P. Ver Eecke, Bruges et Par'";, 1933, II p. 880): „Nous avons donc exposé les construftions et les usages des cinq puissances, que nous avons mentionnées, et Héron a démontré dans ses Mécaniques la cause pour laquelle de grands poids sont généralement mus par une petite force au moyen de chacune de ces puissances". Héron dit en effet (Livre II § 20) avoir démontré „dass die 5 Potenzen die eine Last bewegen den Kreisen um einen Mittelpunkt âhnlich sind . . . mir aber scheint, dasssieder Wage mehr âhnlich sehen als den Kreisen, weil im Vorhergehenden dieGrundlagen des Beweises fiir die Kreise sich uns gerade durch die Wage angaben". Au § 22 il arrive à la conclusion „dass Kraft zu Kraft und Zeit zu Zeit im demselben (umgekehrten) Verhâltnis stehen". Au § 8 il avait dit: „Schon die Alten, die vor uns waren, haben iibrigens dièse Einlei- tung ausgefûhrt." Comparez la note 5 de la p. 15 qui précède.

Chez Héron et Pappus c'est la vis sans fin qui fait partie des 5 puissances: c'est elle qui sert à faire tourner une roue dentée. Voir la Fig. 2 à la p. 30 qui suit.

Descartes dans son petit traité de 1637 — voir la p.i5qui précède — avait clairement ramené à un principe unique la théorie de la poulie, du plan incliné, du coin, du treuil (appelé par lui „la roiie ou le tour"), de la vis et du levier. Il dit parler „d'engins par l'ayde desquels on peut avec une petite force, lever un fardeau fort pesant". Toutefois, quant à la vis tournant dans un écrou, il dit expressément qu'elle sert à presser; il ne s'agit donc pas seulement de„leverun fardeau fort pesant", mais plus généralement d'exercer unegrandeforce. Remarquons que Ver Eecke (traduftion citée de Pappus) dit (I, p. CXIII et II, p. 879) que les mécaniciens de l'Antiquité ne paraissent pas avoir connu la vis tournant dans un écrou. Pourtant les vis des pressoirs dont Héron parle au § 19 du Livre III des Mécaniques, tournent dans des écrous.

') Comparez la p. 1 12 du T. XVI.

*) Voir la note 5 de la p. 19.

3) Voir la p. 194 du T. IV et la Pièce VIII qui suit (p. 69^

'♦) Voir le T. XI („De lis qus liquide supernatant").

STATIQUE. 25

Les centres d'agitation des corps fufpendus. la mefure univerfelle '^).

Le mouvement des pendules, et des corps qui tombent ^}.

Conflruftion de diverfes machines dans toutes les arts mechaniques. comme de charpentiers, tourneurs, tireurs d'or, et de fer. Maréchaux, batteurs de fer blanc, polifleurs de glaces. Tailleurs de pierre. TifTerans.

Ce qui regarde l'artillerie, pour pointer le Canon et les Mortiers, a quelle hautteur on tire perpendiculairement, etc.

I B. PARTIES A CONSIDERER DANS LES MECHANIQUES 0-

[1667 ou 1668?]»)

1. Les 5 manières d'augmenter la force en l'appliquant plus longtemps, qui font le levier, le plan incliné, la vis, la poulie, l'axis in peritrochio ^').

Je n'y conte [sic] pas le coin, parce que ce n'efl: autre chose que le plan in- cliné poulTè par la force du marteau.

2. Les roues dentées, fe raportent au levier.

3. La vis fans fin, a la vis et au levier.

4. Le tranfport des grandes pefanteurs par roues et rouleaux &c.

5. La percuffion.

6. La force mouvante du vent, aux moulins et aux voiles des vaifleaux.

7. La force mouvante de l'eau courante, et tombante.

Les diverfes façons de pompes, et autres machines pour élever l'eau.

8. La force des relTorts, ou il faut des expériences.

9. Les machines diverfes dans tous les arts mechaniques comme de Charpentiers, Tourneurs, TifTerans, Tireurs d'or et de fer. Maréchaux, Batteurs de fer blanc. Tailleurs de pierres, PolilTeurs de glaces. Fondeurs de Canon.

S) Voir les T. XVI („De vi centrifuga"), XVII et XVIII.

<) Voir les T. XVI, XVII et XVIII.

7) Chart£c mechanicse, f. 103. On voit que cette Pièce ressemble beaucoup à la précédente.

^) Voir la p. 14 qui précède.

9) Même remarque qu'à la p. 23 (note 4): Huygens, tout en conservant les „5 puissances" des Anciens, y substitue le plan incliné et la vis au coin et à la vis sans fin. Il écrit de plus „la poulie" au lieu de la moufle ou no'kùanaarov. Il employé toutefois ce mot grec dans le dernier alinéa de la p. 32 qui suit.

4

a6 STATIQUE.

10. Les Centres de gravité.

1 1 . La Statique des corps flottans fur l'eau, et de leur pofitions.

12. Le preflement de l'eau, et la viftefle de fon écoulement.

1 3. La refiftance des corps a eftre rompus.

1 4. La ftatique des poids fufpendus par plufieurs cordes.

15. Le mouvement des corps qui tombent et qui font jettez ou tirez.

16. Le mouvement des pendules, et la manière de l'égaler.

1 7. Le centre d'agitation des corps fufpendus, et par leur moyen la mefure univerfelle.

1 8. La force du mouvement circulaire a rejetter du centre et l'expérience pour fca- voir fi la terre tourne par le moyen des pendules ').

I C. ORDRE QU'ON POURRA TENIR A TRAITER DES MECHANIQUES 0- [1667 ou 1668?] 3)

Parmy les divers fujefts auxquels s'eftendent les Mechaniques le principal et qui apporte la plus grande utilité a la vie eftant a mon avis les forces mouvantes, je crois qu'il faudroit commencer par elles, et pendant que d'un coftè l'on en examine la partie theoretiquc, examiner d'un autre la partie expérimentale.

La theoretique comprend les diverfes inventions pour augmenter ou multiplier une force donnée en l'appliquant plus longtemps ou par un plus grand efpace, qui font le levier, le plan incliné, la vis, la poulie, le tourniquet ou axis in peritrochio, les roues dentées, la vis fans fin+). car pour le coin, je ne le compte pas parmy ces autres, parce qu'il n'opère que moyennant la percuflion qui efl: d'une confideration très diffé- rente. Il faudroit examiner de fuite toutes ces puiffances, des quelles quoy que la théo- rie ait efté traitée par plufieurs auteurs, elle ne l'a pas efté fi bien, qu'il n'y refte en- core a travailler et a l'efclaircir d'avantage, en cherchant un principe certain et commun au quel toutes puiflent efi:re réduites 5). La propofition fondamentale des Equip. d'Archimede doibt icy eftre examinée devant toutes chofes ''}. Pour les centres de gravité des plans et corps divers, on n'aura que faire de s'y arrefter beaucoup, parce

') Nous avons déjà publié ce dernier alinéa à la p. 248 du T. XVII.

^) Charts mechanicaî, f. 104 et 105.

3) Voir la p. 14 qui précède.

'•) Comparez les notes 2 et 4 de la p. 23.

5) Voir ce que nous avons dit sur ce passage à la p. 15 qui précède.

") Voir ce que nous avons dit sur ce passage à la p. 17 qui précède.

STATIQUE. 27

que cette fpeculation n'a pas grande utilité quoyqu'elle foit très belle et fubtile, outre qu'elle a eftè traitée fuffifamment par Archiraede, Lucas Valerius 7) et M. Pafchal ^).

La partie expérimentale de ces forces mouvantes que je voudrois entreprendre en mefme temps, confifte a examiner les forces qu'on applique en elles mefmes, qui font ou celle des animaux, comme hommes chevaux &c. ou des poids ou de l'eau ou du vent ou des reflbrts, car la connoiffance de ce qu'elles valent, et leur proportion en- tre elles, eft necelTaire a la pratique.

Le poids efl celle dont la confideration eft la plus fimple et auquel pour cela il faut comparer toutes les autres ').

Ainfi donc je voudrois examiner fi un homme en tirant feulement par une corde peut élever plus que fon propre poids '°}. Combien d'hommes il faut a tirer pour égaler la force d'un cheval et combien de poids un cheval eleve "). Je voudrois me- furer de mefme la force d'une eau courante, eu égard a fa viteïïe ") et la grandeur des aifles d'une roue qu'elle fait tourner. Item de l'eau qui tombe '-). Enfuite celle du vent '^) à quoy l'on trouveroit de moyens propres.

Et en fin aufli la force des refibrts, efiayant fur des reŒorts de difterentes longueur et efpaifleur a quel point ils fe laiflent plier par des poids donnez '3^.

Après cette matière des forces et puifl!ances mouvantes je ferois d'avis d'examiner la refifiiance des corps a efire rompus, dont la théorie efi: necefiaire pour faire veoir la raifon pourquoy les petites machines eftant fuivies dans leur proportion ne reuflis- fent pas en grand, et de quelle façon ces proportions doivent efi:re changées. Il fau-

7) „De Centre gravitatis Solidorum libri très Lues Valerii", Bononiîe, ex. typ. haer. de Duccijs, 1661. Dans sa Préface l'auteur dit avoir été inspiré par l'ouvrage de isdsdeF. Commandinus. Comparez la p. 336 du T. XVI.

8) Pascal, Oeuvres Complètes (éd. F. Strowski, Paris, OllendorfF, 1923) I, p. 259;„Lettrede M. Dettonville à M. de Carcavy", où l'auteur traite de la „méthode générale pour les centres de gravité de toutes sortes de lignes, de surfaces et de solides"; I, p. 287: „Traité des trilignes rectangles et de leurs onglets"; I, p. 357: „Résolutions des derniers problèmes touchant la dimension et le centre de gravité des demi-solides de la roulette", etc.

5*) Nous avons cité cet alinéa à la fin du premier alinéa de la p. 16.

'°) Voir sur les expériences faites sur ce sujet la p. 40 de r„Historia" de du Hamel. Le résultat fut négatif.

") Voir encore du Hamel (p. 39). On trouva que sept hommes équivalent à un cheval. D'après la p. 74 du T. III des Registres de l'Académie des Sciences Roberval avait dit le 27 juin 1668 qu'il fallait „experimenter, quelle est la proportion de la force d'un homme à celle d'un cheval" et aussi „combien est grande la force d'un homme qui tire de bas en hault un poids attaché a une corde tant lors qu'il est assis que lors qu'il est debout".

") Voyez, à la p. 120 qui suit, la Pièce V.

'3) Huygens a certainement fait des expériences de ce genre: voir les p. 484, 485 et 502 du T. XVIII.

28 STATIQUE.

droit examiner les fondements de Galilée dans le traiélè qu'il en a efcrit, et veoir ce qu'il y a a corriger et augmenter '). Il y a aufli une partie expérimentale en cecy qui efl: très neceffaire dans la pratique. Et confifte a connoiftre la force des métaux bois et pierres a eftre rompus en tirant diredement eftant fuppofè une certaine groifeur. Par exemple combien de poids peut foutenir une verge de fer de l'epaifTeur d'une ligne en quarrè fans fe caflTer.

La théorie la plus utile après celles la me femble eftre celle qui regarde la Statique de l'eau, dont on confidere la vitelTe de fon écoulement fuivant fes diverfes hauteurs et pentes, en quoy quant au premier article il y a fcience certaine '). Et il faudroit tacher de l'établir aufll en ce qui regarde l'autre, ce qui fe pourroit après qu'on fe feroit efclaircy par quelques expériences. Et a cette Théorie il faut joindre celle de la preflion de l'air trouuée de nos jours, et qui eft fi neceffaire pour comprendre les rai- fons des pompes et fiphons.

Je voudrois traiter en fuite de la Statique des corps fumageans l'eau

[voyez les p. 481 — 482 du T. XVIII, où nous avons publié cette dernière partie du programme] une belle expérience qu'il y a a faire pour prouver que la terre tourne 3^.

') La première journée des „I)iscorsi e Diraostrazioni" de 1638 de Galilée débute par quelques remarques sur le fait que „les petites machines estant suivies dans leur proportion ne réussissent pas en grand", et traite ensuite e. a. de la solidité des corps en général. Dans la deuxième journée Galilée donne la raison du fait mentionné et parle longuement de la rupture des poutres. Dans la Pièce VIII qui suit (p. 69 et suiv.) Huygens ajoute quelque chose à ces considérations. Il n'ignorait pas que Galilée avait été critiqué à bon droit par Blondel: voyez ses lettres de 1662 citées dans la note 5 de la p. 333 du T. XVI. Toutefois il ne réussit pas à s'affranchir de l'auto- rité de Galilée; comparez la p. 18 qui précède et la note 5 de la p. 71 qui suit.

^) Huygens veut dire qu'il accepte le principe qu'on trouve dans les „Opera Geometrica" de 1644 de Torricelli; p. 191 „De Motu Aquarum": „Supponimus. Aquas violenter erumpentes in ipso eruptionis puncto eundem impetum habere,quemhaberetgrauea]iquod,siueipsiusaqua;gutta una, si ex suprema eiusdemaquje superficie usque ad orificium eruptionis naturalitercecidisset". Comparez toutefois la note 4 de la p. 121 et la note i de la p. 124 qui suivent.

3) Cette dernière phrase a été citée par nous à la p. 248 du T. XVII.

IL

CONSIDÉRATIONS GÉNÉRALES SUR LES ENGINS STATIQUES.

OCT. 1676.

-i

[Fig. I.]'*) Hags 16760^.').

Primum ac prîecipuum Theorema Mechanica? cer- tâ ac légitima demonftra- tione primus confirma vi ^). Nimir um brachiorum librse longitudinem contraria ra- tione refpondere ponde- rum gravitati quae ab ex- tremis brachijs fufpendun- tur. Nam Archimedis de- monftratio quas legitur libro primo Aequipond. prop. 6 3) non illud evincit quod proponitur, ut à multis fuit animadverfum.

Cum enira dicit [Fig. i]: Eft igitur a impofitum in e^ et ipfum h in d\, concedi fibi tacite 5) poftulat ut idem momentum librse adferant partes ponderis A, fufpenfe per jugi partem /g, atque cum pondus ipfi A œquale ex punélo e filo fufpenditur. fimili- terque partes B per partem jugi gk fufpenfe idem efficiant ac fi à pundto ^pondus ipfi B asquale penderet. Proponitur enim ad demonflirandum, fufpenfis filo ponderibus A

') Manuscrit E, p. 61 — 65. Comparez sur le séjour de Huygens à la Haye le note 6 de la p. 4 du T. XVIII.

*) Voir, à la p. 40 qui suit, la Pièce V, B, lue à l'Académie des Sciences de Paris en décembre 1673.

^) Ta aùixu.STpa iMeyideix luoppoTzéovzi àrco ^axe'wv àvztnsnovd'jrMç tov aùrby loyov èyovTuv zoïç ^xpsatv (magnitudincs commensurabiles xquilibritatera servant ex longitudinibus suspensa?, qua; in contraria proportione sunt ac pondéra. — „Arcliirnedis Opéra omnia", éd. J. L. Heiberg, Lipsiœ, Teubner, 1913, II p. 133). La Prop. VII étend cette thèse aux grandeurs incommen- surables.

4) Dans la Fig. i /'représente la commune mesure des poids A et B.

5) Voyez cependant la note 5 de la p. 43 qui suit.

30

STATIQUE.

et B à punétis e et d^ fieri îequilibrium in c. Quis autem concédât eundem effeftum habere refpeftu librs fufpenfse ex c, pondus A affixum per partes ad lineam Ig^ atque cum totum fulpenditur filo ex punfto (?? pr^efertim cum appareat partes quafdam ponderis A gravitatem exercere in brachium alterum câ. Neque enim fatis efi: omnium partium ponderis A per Ig affixarum centrum gravitatis cadere in c pundum , ut videtur voluifle Archimedes.

Stevinus, Galileus et alij mutare aliquatenus hanc demonftrationem conati funt ac probabiliorem reddere, fed vel in fimilem jamdiftaedifficultatemincidunt,vel in alias nihilo leviores ').

Veélis ^) ratio, item axis in peritrochio 3), eîedem funt ac librae brachiorum inae- qualium.

Cochlea ad planum inclinatum refertur. Hujus +) vero nondum îeque evidens de- monftratio reperta efl: ac noftra illa libr« quam explicuimus academicis Parifinis.

Optima hùcusque videtur illa Stevini qua catenam triangulo circumdat

voyez les p. 475 — 476 du T. XVIII, où nous avons publié cette partie fimiliterque

pondus catense BC in F.

[Fig. 2.] Cochlese [Fig. 2] quam infinitam

vocant, hoc efl: quœ aptatur dentibus rotîe cujus circumferentise adjacet , hu- jus inquam vis ex librae et plani incli- nati rationibus conftat, Cîeterum ad inveniendum calculoquantafiat virium multiplicatio cum hujusmodi machina adhibetur, nihil aliud fpeftare opus efl:, quam quanta fit celeritas ponderismoti ad céleri tatempotentis moventis com- parata. Quod fane in omni alio machi- narum génère eodem modo fehabet 5). Sit rota dentata AB 30 dentium. cochlea dentibus iftis conveniens CD. cujus axi additum fit manubrium KLL. Hic, quia converfione una manubrij tantum

') Lagrange, „Mécanique analytique", Première Partie, Section I, § i: „Quelques auteurs modernes, comme Stevin dans sa Statique, et Galilée dans ses dialogues sur le mouvement , ont rendu la démonstration d'Archimède plus simple., etc.". E.Diihring,„KritischeGeschichte der allgemeinen Principien der Mechanik", aième éd. Leipzig, Fues, 1877, p. 75: „Die aiis- serlichen Umgestaltungen, welche Stevin und Galilei mit dem Archimedischen Hebelbeweis

STATIQUE. 3 1

unus dens in prsecedentis locum fuccedit, ita ut rotîe trigefima pars ambitus peragatur, fequitur trigecuplo validiorem eiïe aftionem manubrij KLL quam fi idem ad axem rotse AB aptatum foret ut in EMM. Quod fi porro axis EF involvatur funi GH pon- dus quodpiamtrahenti,fitqueexempligratia longitude manubrij EM feu KL décupla ad femidiametrum ipfius axis, hinc jam decuplum infiiper virium augmentum contin- git, adeo ut potentiœ manubrium KL circumagentis vis trecenties jam multiplicata fit. Etenim dum manus ad LL totam circumferentiam peragit radio KL defcriptam, attrahitur pars chordse HG, œqualis tricefimas parti circumferentiae axis EF, quse tota circumferentia îequatur décimée parti circumferenti^e radij KL. unde liquet cele- ritatem manus tercentuplam efie celeritatis ponderis à chordîe GH agitati.

Si quis pondus centum libraruni attollere velit, ac tantum potentiam unius librae habeat, oportet machinam qua utitur ita conftrudam efle ut dum potentia movens, quaî eft unius librse, movetur per intervallum pedis unius, fimul pondus centum librarum moveatur tantum per unam pedis centefimam. Idque ita ut pro nihilo habe- antur impedimenta ab inertia et attritu partium ipfius machinzeprodeuntia.Acqualis- cunque fuerit machina, quacunque arte fabricata, femper ifi;a potentiarum ac itinerura contraria ratio requiritur, ad effeftum qui proponitur confequendum ").

Sedet converfa hujus propofitionis œque vera eft, quod mirum videri pofiet; nempe qualicunque conftruéla machina, fi dum potentia movens pedis unius fpatium conficit, pondus motumnecefiario unam centifimam pedis progreditur, non pofie fieri quin ea machina vires agentis in centuplum augeat. deduélis et hic impedimentis a materia procedentibus.

vorgenommen haben, dienen einerseits zur Veranschaulichung, lassen aber andererseits die Schwâchen der rein mechanischen Schlussfolgeriingen noch mehr hervortreten". La démon- stration de Stevin constitue le Tliéorème I de la Seconde Partie des Propositions du i" Livre de la Statique („Les Oeuvres mathématiques", éd. A. Girard, 1634). Celle de Galilée se trouve dans les „Discorsi e Dimostrazioni" de 1638 (Dialogo secondo).

^) Il s'agit de la barre inflexible destinée à soulever un poids gisant à terre: comparez le deuxième alinéa de la p. 17 qui précède.

3) Voir la note 4 de la p. 23 qui précède.

4") C.à.d. de l'équilibre d'un poids placé sur un plan incliné.

5) Comparez la note 4 de la p. 23. On voit que Huygens ne tâche nullement de donner une démon- stration en règle de ce principe (que nous avons appelé à la p. 15 le principe des déplacements ou des vitesses), quoiqu'il affirme que l'effet de la vis sans fin s'explique par la considération de la balance et du plan incliné. Il dira plus loin (p. 32, Fig. 4) qu'il ne faut pas expliquer l'effet des poulies par la considération de la balance ou du levier (note 4), mais qu'il faut considérer le nombre des cordes: c'est ce que fait aussi Héron dans ses Mécaniques. Dans la présente Pièce il ne s'agit que de déplacements réels; voir sur les déplacements virtuels la p. 16 qui précède et la p. 52 qui suit.

"5) Il s'agit bien ici (comparez la note précédente) d'un principe général indémontré et peut-être indémontrable. Comparez la note 3 de la p. 17 qui précède et la p. 80 (note 3) qui suit.

3^

STATIQUE.

Hinc omnis generis machinamm par eflfe virtus colligitur ') ^ "i^ quod optimje cen- fendîe quae funt fimpliciffimje, quod in his minus impedimentorum accedit à materias inertia et attritu, quodque fàcilius et minore fumtu conftruuntur.

Qui autem vera mechanicse fundamenta ^) ignorant inventa nova machina fperant majus quid, quam hucusque cognitis, ejus ope prîeftari pofle, veluti ut aquas ad in- gentem altitudinem, magna copia, brevi tempore, minimâ operâ perducant. Quin et adexperimenta fréquenter provocant , quibus et feipfos et alios îeque imperitos perinde fallunt. Semper autem conflitari poflunt inftituto dilligenti examine itinerum poten- tiaemoventisacponderismoti, ac rurfus gravitatum ipfamm confiderata ratione. quo fafto femper illa fuperius allata régula vera efle deprehendetur ').

[Fig- 3.]

[Fig.4.]

Si quis aquam e puteo hauriat fitula ad reftim alligata qui fuper orbiculum tranfeat [Fig. 3], is tantundem vel amplius etiam labore fuo proficiet atque alius artifîciola quamlibet machina utens, fuifque ijfdem viribus annixus. Nec aliud hic ab inventione commodum adjungi queat quam ut îequilibrium concilietur fitulae vacuje cum pondère refti annexo, qua parte ab homine trahitur. aut taie quippiam praeterea, ut ne rétro labi podît fi- tula ad fingulos conatus quibus furfum adduéla fuerit. De caetero hsec omnium fimpliciffima eft machina, cum nihil fuperflui ponderis impendatur.

Trochlearumacpolyfpaftorum 3) vires, qui librae aut veftis rationibus '*) explicant, errant mea fen- tentia, cum vera demonftratio fimpliciffimaque ex funium multiplicatione fumatur '). Quid enim cla- rius quam fune ABC [Fig. 4] pondus D fuftinente à trochlea E fufpenfo, quam funis ambit, ita ut altero capite ad clavum A fixus fit, altero C fuftineatur manu. Quid inquam manifefliius quam dimidium gravitatis D in- cumbere digitis ad C.

') Voir la note 6 de la p. 31.

*) Cette expression assez vague désigneapparemmenten premier lieu leprincipedesdéplacements.

Voir sur la question de la grandeur finie ou infiniment petite des déplacements le dernier alinéa

de la p. 16 qui précède. ^) Comparez la note 9 de la p. 25 qui précède. *) Voir sur la „vectis" la note 2 de la p. 3 1 qui précède. 5) Voir la fin de la note 5 de la p. 31.

STATIQUE. 33

lUi vero diametrum trochleœ tanquam vedem confiderant. Malè. Eodem enim modo omnia fe habebunt etiamfi pro trochlea fuerit annulus K [Fig. 5]. at hic jam nuUus veélis erit.

Apparet auteni et hic ratio illa reciproca fpatiorum ac gravitatum. Nam dum ma- nus C pede uno attollitur, pondus D tantum femipede altius fit; unde duplo augetur hic potentia agentis.

[Fig. 6.] Similiter fi funis in A affixus [Fig. 6] circumvolvatur trochlea? B,

atque inde afcendens fuper orbiculum C, cujus fixum item fit centrum, tranfeat, ac riirfus deicendens ambiat trochleam D, ipfi B connexam, taiidemque ad manus L feratur. hic apparet pondus D trochlcce B ap- penfum îequaliter tendere funes quatuor, qui proinde finguU quartam ponderis partem fuftinent; ac proinde una quarta incumbit manui L. Non potefl: autem afcendere pondus D nifi quatuor funes, e quibus pendet, tanto breviorcs fiant quantum eft fpatiuni afcenfus iftius. Quo autem breviores fiunt fîmes quatemi, id totum necefTario cedit eleva- tioni capitis L, utique cum caput alterum A, et orbiculus C, fuo loco manere ponantur. Ergo patet neceflTe efTe ut quatuor pedum altitudine attollatur caput L, fi velimus ut uno pede afcendat pondus D. Eademque efl ratio in quaUbet trochlcarum multitudine ac difpofitione, ut nempe pro numéro ref^ium qui- bus pondus fufpenditur, vel trahitur, augeantur vires ad extremum appUcatœ '').

En marge: Quanta vis ad certam celeritatem corpori imprimendam requiratur '').

*) Le T. VII des Registres de l'Académie se termine par un „Traitté de Mechanique pour ex- pliquer les propriétés de la Poulie" de 63 f. de Blondel, qui porte en marge la date du 1 8 janvier 1674.

7) Voyez sur ce sujet la Pièce IX qui suit (note 2 de la p. 160 ), aussi que la p. 89 de l'Avertisse- ment sur cette Piècç.

5

m.

EQUILIBRE D'UN CORPS SUR UN PLAN INCLINÉ ')•

(Cas d'équilibre indifférent).

[1(568]

AC [Fig. 7] planum horizontale, AB planum inclinatum, D pondus traftum fune DE. Sit DF perpendicularis DE. Erit potentia trahens in E ac fuftinens pondus D in piano AB, ad pondus abfolutum D ut DF ad FA =").

') Manuscrit C, p. 258. Les p. 255 et 260 sont respeftivement datées mai et juin 1668. La Pièce III fait en quelque sorte partie de la Pièce VI qui suit (voir la note 5 de la p. 49).

^) Lorsque le poids monte de A en D le travail de la force E est E. /, = D. 4, où /, et 4 désignent respeftivement les perpendiculaires abaissées des points A et D sur les côtés opposés du triangle ADF. Il en résulte E : D = DF ; AF, c.q.f.d.

IV.

EQUILIBRE DE DEUX VERGES 0-

(Cas d'équilibre ftable).

[1673 OU 1674]

A et B [Fig. 8] font deux poulies égales tirées par des poids égaux O et N. a l'une efl: attachée fixement la verge ACG, a l'autre la verge BC, qui eu preflTée par deffiis par ACG, et luy refifte par fa prclTion vers en haut. Or a fin que ces deux preflîons s'égalent l'une l'autre, il faut qu'en fuppofant un commencement de mouvement, par le quel, par exemple, le point C de la verge AG defcende en H, et l'extrémité de la verge BC en E, il faut dis je que les angles CAH, CBE foient égaux entre eux, afin que le poids O foit delcendu autant que le poids N fera monté.

Soient AC, AH prolongées jufqu'a ce que AG, AL foient chacune égales à BC.

') La Pièce IV est empruntée à une feuille séparée (Chartîe mechanicse, f. 128). Huygens traite la même question en latin à la p. 434 du Manuscrit D datant de 1673 ou 1674 (les p. 391 du Manuscrit D et 26 du Manuscrit E portent respeftivement des dates de juillet 1673 et de dé- cembre 1674); nous ne reproduisons pas la pièce latine.

36

STATIQUE.

Joignant donc GL, elle doit eftre égale a CE foutendente de l'arc CE; la quelle eft cenfee perpendiculaire aux deux rayons BC, BE, a caufe que l'angle CBE efl: infini- ment petit. Et de mefme la foutendente de l'arc CH efl cenfee perpendiculaire fur AH et AC. Puifque donc GL eft égale a CE la raifon de GL à CH fera la mefme que CE ad CH, ou CKà KH, ou CB à BM, ayant mené BM perpendiculaire fur CHM. Mais comme GL à CH ainfi G A à AC, ou bien BC à AC. Donc BC fera à AC com- me BC à BM. Et par conièquent BM égale à AC. Et BD égale à DA, puifque les angles DBM, DAC font égaux et les angles BMD, ACD droits. Le point D efl: donc donné, et le point C efl: dans la circonférence d'un demicercle fur AD. Mais il eft aufll a la circonférence deicrite du rayon BC qui efl: donné. Donc le point C eft dans l'interfedlion de ces deux circonférences, et partant il eft donné.

Par le mefme principe l'on trouve que lors que les verges AS, BS [Fig. 9] font d'égale longueur, mais pofees en forte que AS prefl^e par deflus le bout de la verge BS, pour faire équilibre, il faut que le poids O foit à N comme la longueur AS ou BS à BM, llippofant BM parallèle a AS et SM pdrpendiculaire à BM.

Car cela eftant, fi on fuppofe un commencement de mouvement, en Ibrte que le point S de la verge AS defcende en H, et le bout de la verge BS en E, l'angle SBE fera a l'angle SAH, comme SE à SH, ou comme KE à KS, ou comme SB à BM, car les triangles EKS, SBM font femblables, parce qu'ils font reftangles, et que l'angle EKS eft cenfé égal a MBS. Or comme l'angle SBE à SAH, ainfi eft la montée du poids N a la dcfcente du poids O. Donc elles font en proportion réciproque des poids mefmes. Et partant le centre commun de leur gravité demeure a mefme hauteur ou il eftoit devant le mouvement.

V. ^

ÉQUILIBRE DE LA BALANCE. [1668-1672.]')

V, A. § I *}. Si un plan horizontal ABCD [Fig. 10], qui foit fans pefanteur luy mefme,mais fur lequel on aie difpofè plufieurs poids EEE efl: appuie fur une ligne droite et inflexible AC, en forte qu'il demeure en équilibre c'eft a dire dans fa pofition horizontale, je dis que dans la ligne AC il y a un point par lequel le mefme plan eftant appuie il demeurera encore en équilibre 3).

V, A. § 2. ^). Qu'on puifle confiderer des lignes droites et des fuperficies planes fans pefanteur et inflexibles.

Si un plan parallèle a l'horizon [Fig. 1 1 ] efl: mobile fur une ligne droite et que dans ce plan on attache deux poids égaux un de chafque coflè et a égale diftance de la dite ligne, le plan demeurera dans l'équilibre.

Soit le plan ABC fans pefanteur parallèle a l'horizon et mobile fur la ligne DE. Et que les poids égaux F, G foient attachez dans ce plan des 2 codez de la ligne DE,

') Voir sur ces dates le premier alinéa de la p. 18 qui précède.

-) Manuscrit C, p. 234.

Les Registres de l'Académie des Sciences (T. II, 1668) disent :„Ce 15 février M', de Roberval a lu sa démonstration pour la proportion réciproque des distances et des poids. M'. Hugens a a aussi leu sa démonstration de la mesme proportion. Il prendra la peine de la mettre au net". Roberval avait d'ailleurs déjà traité le même sujet le i et le 8 février, et il continua à en parler tant en février qu'en mars. Voyez encore sur Roberval la note 5 de la p. 43 qui suit.

3) Voyez la démonstration fi la p. 41 qui suit (Prop. 2).

4) Manuscrit C, p. 238.

3»

STATIi^UE.

[Fig. II.]

[Fig- 13-]

et en égale diftance, c'efl: a dire que les perpendiculaires depuis les points d'attache F. G menées fur la ligne DE foient égales. Je demande que le plan demeurera dans l'équilibre.

Si un plan chargé de poids efl: appuie fur 3 points qui portent chacun une partie de toute la pefanteur, je demande qu'en oftant l'un des 3 appuis le plan ne demeurera pas en équilibre fur les 2 autres mais qu'il inclinera du collé ou l'appuy aura eftè ofté.

Soient les poids A, B commenfurables fufpendus à la balance CD [Fig. 1 2], dont les bras EC, ED, foient entre eux réciproquement comme le poids B eft a A. D faut demonftrer qu'ils font équilibre.

Soit la ligne H [Fig. 13] la mefure commune des bras EC, ED. Et que l'on con- çoive un plan qui pafle par la ligne CD et qui foit parallèle a l'horizon, et foient me- nées dans ce plan les lignes FCG, HDK perpendiculaires à CD.

Et fit D5, Dr 00 EC, et ducantur HA, PEH angulos femireftos facientes cum reftisD5,CP.fietH<pooPEet(pô do EO. unde EÔ oo ÔP oo ÔA.Et(^CfeuCA 00 ED.

V, A. § 3 '). 167a. apr. Si non; prîeponderet pars D. Ergo fuppofitis in I et H flilcris, ea utraque aliquid ponderis fuftinebunt et zequaliter. totaque gravitas fuper

') Manuscrit C, p. 238.

STATIQUE. 39

tribus punftis E, I, H fuftinebitur. Ergo fi auferatur fulcrum quod fub I, pknum non amplius fuper pundtis E et H îequilibrium fervabit , fed in partem I inclinabit , manente reéla HEQ motus axe.

Hoc autem fieri non pofle ex ratione sequilibrij oftendetur^}.

Sit CA vel C^/ co ED. Et Dr, DE sequ. EC, Et divifis Avp, TS in partes aquales qua; refpondeant numéro partium quas continent diftantise ED, EC, intelligantur et pondéra A, B in partes îequales fecundum eosdem numéros divifa efle, earumque partium fingulas in medio fegmentorum reélarum A^/, VS fufpendi, ut in F, L, C, M, G; N, D, K. a quibus omnibus in redlam HEQ perpendicularesducanturutFO, LT, KX , DY &c. Et jungatur A5 fecetque CD in Ç). Quia ergo Cep ad (pD ut AC ad D5,hocefl:,utDEadEC,eritC(p 00 DE. unde et C(p oo CA. Ideoque anguli A(pC, DpE uterque femireéli. Et ipfa AH parallela perpendicularibus KE [lisez KX],FO &c. Refta autem A(p jam quoque zequalem efle patet ipfi HE, cum AC, HD fint îequa- les, fed et û(p oo eft ÙE. Ergo et AÔ oo H^ hoc eft ipfi ÔE. hinc KX oo FO. Et DY 00 LT, et NZ oo CS. Itaque fingulis ponderibus quœ in fegmentis mediis lineœ TE impofita fiint asquilibrant totidem pondéra fiifpenfa in medijs totidem fegmentis redtîe Atî". Cum autem AcJ" asqualis fit ipfi FX [lisez PS"], hoc efi;ipfi/3P, ablata autem /3P a Avp refl:ent duse îequales A/3, P4',fequitur et ablata AcJ" ab Avf/ relinqui «J'x^ sequalemutris- que A/3, Pv^ ideoque ^4/ efie duplam ipfius Pvf/. Necefl!ario igitur cum HQbifecet ê'\l> reperientur totidem pondéra ab una atque ab alia parte redse HQ eorum quœ fegmen- tis reftas ^4^ impofita funt. Quod fi fegmenta hsec funt numéro impari, unum iftorum ponderum in ipfam interfeétionem P incidet. Itaque femper pondéra lineœ ê\l^ fuper axe HQ sequiponderabunt. Sed et omnia reliqua fuper eodem axe sequiponderare oftenfum efl:. Ergo omnium fiet fuper axe HQ sequifibrium, itaque non inclinabit planum a parte verfus I. Eodem modo nec ex parte H inclinari ofl:endetur

Vide an non melius propofitio eo modo promit tenda ut habetur folio fequente verfo 3).

V, A. § 4 '^). Vide folio antécédente verfo ').

Si in piano horizonti parallelo [Fig. 14] fuerint duîe lineje parallèle inaequales et

'^j En marge: Poffunt punfta H, I ad libitum fumi dummodo îequaliter a D diftent. Deinde ducends HEP, IE/3 et ponend^ CA, Cij/ squales DH, DI. Et Dr, DE aîquales C/S, CP et jungenda AS. adeo ut angulis semirectis non necefiario opus fit. Melius tamen ob perpendiculares a ponderibus in HQ ductas.

^) Notre § 4.

*) Manuscrit C, p. 242.

5) Notre § 3.

40

STATIQUE.

[Fig. 14.]

commenfurabiles atque ita pofitïe ut refta quae utriufque pun- ftum médium conneftit utrique lineae fit perpendicularis, di- vidantur autem fingulai in partes communi ipfarum menfuras îequales, et in fingulis fegmentis pondéra îequalia coUocentur ita ut fingulorum centra gravitatis medijs portionum pundis conveniant, refta vero quse média punfta linearum primo acceptarum conne(5i:it dividatur in partes duas qu» reciproce fintineadem ratione quœ efl: linearum ipfarum quibus adjacent. Et reclîe duse agantur per pundtum diftze divifionis quas cum lineis primo acceptis triangula ifofcelia conftituant quorum bafes altcrnatim ijsdem lineis cequales fiant, zequilibrabitur planum cum impofitis ponderibus fi fiaper alterutra reftarum ultime duélarum mobile conftituatur.

Jungatur As et a fingulis ponderibus reftœ ducantur ipfi A5 parallelse atque ad reélam PH terminatîe.

V, B DEMONSTRATION DE L'EQUILIBRE DE LA BALANCE ')•

[1673].

leu dans l'Académie le 2 décembre 1673.

L'on demande qu'on puifie concevoir des lignes et des plans fans pefanteur et in-

flexibles.

Proposition i ,

Un plan horizontal eftant appuie et mobile fur une ligne droite indéfinie qui foit dans ce plan, fi on le charge de deux poids égaux des deux coftez de la ligne d'appuy, en forte que les perpendiculaires menées de ces poids fur la mefme ligne foient égales, le plan demeurera en équilibre.

Soit le plan horizontal ABCD [Fig. 1 5] appuyé fur la ligne indéfinie AC, et chargé des poids égaux E et F, d'où les perpendiculaires menées fur AC, comme EH, FG

') Chart» mechanicîe, F. 121, 125 et 126. Les f. 122 — 124 contiennent une copie d'une autre main de la même Pièce; dans cette copie Huygens à fait quelques correftions peu importantes (voir la note suivante).

STATIQUE.

41

foient égales. Je dis que le plan demeurera en équilibre. Car toutes chofes eftant éga- les des deux codez de la ligne AC ^}, il feroit abfurde de dire qu'il inclineroit pluftoft d'un coftè que d'autre.

Proposition 2.

Si un plan horizontal chargé de poids demeure en équilibre eftant appuyé fur une ligne droite indéfinie qui foit dans le mefme plan: il y aura un point dans cette ligne, fur lequel le plan eftant appuyé, demeurera en équilibre.

Soit le plan horizontal AB [Fig. 16], chargé de poids, et demeurant en équilibre fur la ligne CD. Je dis qu'il y a un point dans cette ligne fur le quel le plan eftant appuyé, demeurera en équilibre. Car fuppofons s'il eW polTible qu'il n'y ait pas un tel point dans la ligne CD, et ayant mené les lignes EE, FF, qui coupent CD h angles droits, et entre les quelles foient enfennez tous les poids dont le plan AB efl: chargé, foient pris dans la ligne CD, hors des parallèles EE, FF, les points C et D. Il efl: manifefle, fi l'on appuyé le plan par les points C et D, qu'il pofera fur ces deux points, et qu'il demeurera en équilibre, puis qu'ils font pris dans la ligne CD, fur la quelle le plan a efté fuppofé faire équilibre.

Prenons maintenant le point H qui divife CD par le milieu, et foit entendu un troilième appuy fous le point H. Puis que donc, par ce qui a efté fuppofé, le plan ne

0 Dans la copie Huygens a ajouté les mots: „puis que le plan eft confideré fanspefanteur".

6

42 STATIQUE.

fcauroit demeurer en équilibre fur le feul point H, il efl: certain que fi l'on ofl:e l'un des appuis extrêmes comme D, il arrivera ou que le plan inclinera du coftè D, ou qu'il demeurera appuie fur les deux points H et C. Que s'il doit incliner du coftè D, il eft évident qu'un laifiant l'appuy en D et l'ollant en C, il demeurera appuie et en équilibre fur les points H et D. Il paroit donc que le plan demeurera en équilibre fur les points H, C ou H, D, c'efl a dire fur deux points dont l'intervalle efl la moitié de celuy des premiers appuis C, D. Que ce foit fur H et D; et l'on montrera de la mes- me manière qu'il demeurera en équilibre fur deux points diflans de la moitié de l'in- tervalle HD; et encore fur deux qui ne feront diftans que de la moitié de cette dernière moitié, et ainfi a l'infini. Et parce que cette bifeélion infinie fe termine a un point, il s'enfuit que l'équilibre du plan AB fe fera donc fur un point, ce qui eit contraire a ce qui a efté fuppofé. Et partant la fuppofition impoflible '}. Donc il y a un point dans la ligne CD, fur le quel le plan eftant appuyé demeurera en équilibre ").

Proposition 3.

Deux pefanteurs commenfurables attachez a l'extrémité des bras d'une balance demeureront en équilibre, fi ces bras font en raifon réciproque des pefanteurs.

Etc., comme dans la Pièce V, C qui suit (Prop, III)^). Comparez la note 2 de la p. 18 qui précède.

V, C. DEMONSTRATION DE L'EQUILIBRE DE LA BALANCE +). Dans la démonftration qu'Archimede a donnée de la propofition fondamentale des

') La copie a, au lieu de cette phrase: „ce qui est absurde, puis qu'il est contraire a la supposition". Le copiste a eu tort de changer le texte de Huygens, car c'est la supposition qui est absurde.

^) En marge: Cette demonfiration efi: de la manière de celle de la prop. 1 2 du 9 livre d'Euclide. On trouve en effet dans la démonstration de cette proposition d'Euclide, comme dans celle de la proposition du texte, la répétition continuelle — non pas, il est vrai, la répéti- tion à l'infini — d'un même motif: chez Euclide il s'agit de démontrer qu'un nombre premier qui divise le dernier terme d'une série géométrique, divise également l'avant-dernier terme; etc. jusqu'au premier.

3) On trouve dans la copie, outre quelques correftions de Huygens, quelques corrections au crayon écrites d'une autre main; elles sont fort peu importantes (p.e. „demeure en équilibre estant appuyé", corrigé en : „demeure en équilibre lors qu'il est appuyé"). Dans les „Divers Ouvrages" il a été tenu compte — Prop. 3 de la Pièce V C qui suit — de ces correftions. Il nous semble inutile d'indiquer dans des notes où le texte original a été modifié.

STATIQUE.

43

D 0 D D

B

dJd d d

0

[Fig. 1 7.] Méchaniques , il fuppofe taci-

tement 5} une chofe dont on peut douter avec quelque rai- fon ; c'ert que fi plufieurs poids égaux font attachez à une ba- lance, à diftances égales les uns des autres, foit que tous fe trouvent d'un mefine cofté du point de fufpenfion, foit que quelques-uns pafTent de Tautre cofté, comme dans cette figure [Fig. 17], où le point de fi.irpenfion eft A; ces poids auront la mefine force à faire incliner la balance, que s'ils eftoient tous attachez au point où eft leur commun centre de gravité, comme eft icy le point B: de forte que fi eftant attachez féparément, ils faifoient d'abord équilibre avec un contrepoids C, ils le feroient encore eftant tous fufpendus au po'.nt B, ou en leur place un poids D qui égale la pefanteur de tous.

Quelques Géomètres, en diverfifiant un peu cette démonftration , ont tâché d'en rendre le défaut moins fenfible, mais je n'ay point trouvé qu'ils l'ayent ofté. J'ay donc cherché à démontrer autrement la mefme propofition comme il s'enfuit.

'*) P- 313 — 316 des „Divers Ouvrages de Mathématique et de Physique par M. M. de l'Académie Royale des Sciences", Paris, 1693. Huygens envoya cette Pièce à de la Hire en 1686, comme nous l'avons déjà dit à la p. 17.

5) Comparez la p. 29 (note 5). Toutefois W. Stein („Der Begriff des Schwerpunktes bei Archi- medes", dans le Bd. i, Heft 2 des „Quenen und Studien zur Geschichte der Mathematik, Abt. B. Studien", Berlin, J. Springer, 1930) observe, contre E. Mach („Die Mechanik in ihrer En twicklung",8ième éd. Leipzig, 192 i),dont la critique est la même que celle de Huygens, qu' Archimède applique ici son sixième postulat: et za ixs-yéOix à-nh -zvitj^t) //axiwv i(ToppoKi(,)vzt, y.aï tx t'o-a aî/Toïç à.TÔ tùv aÙT&Jv paxéwv taoppoizriaa (si magnitudines e quibusdam longitudinibus sus- pensse œquilibritatem servant , etiam magnitudines iis squales ex iisdem longitudinibus suspens» îequilibritatem servabun t). En 1 668 Roberval disait comme Huygens,et avant lui, qu' Archimède admet tacifementwn postulat qui pourtant ne diffère pas, ou peu, de son sixième postulat.Voici ce que leT.I des Registresdel' Académie desSciences rapporte àcesujet(p.252 — 253, 8 Février 1668) „I1 [Roberval] a remarqué aussi qu'Archimède prend pour principe tacite, quesi une balance est chargée des deux costez de tant de poids égaux qu'on voudra egallement distants l'un de l'autre et posé sur la balance chacun par son centre de granité tous ces centres estant différents, la balance estant suspendue par un de ses points ensorte que tous ces poids fassent équilibre, si on prend deux de ces poids, tels qu'on les voudra, et qu'on les assemble en un mesme point, qui soit le centre de grauitè commun des deux, l'équilibre demeurera toujours. Ce que l'expérience confirme. Ainsi il prend pour postulat une expérience constante , et qui est receu en Mechanique".

44

STATIQUE.

I. L'on demande avec Archimede que deux poids égaux attachez chacun au bout des bras égaux d'une balance fafTent équilibre.

IL Et que les poids eflant égaux, & les bras de la balance où ils font attachez, inégaux, elle incline du cofté du bras qui efl: le plus long.

III. L'on demande auffi qu'on puifTe concevoir que les lignes & les plans dont il fera parlé dans cette démonflration foient inflexibles & fans pefanteur.

Première Proposition.

Si fur un plan horizontal appuyé fur une ligne droite qui le coupe en deux^ on applique quelque part un poids ^ la force que ce poids aura à faire incliner le plan de fon cofîè fera plus grande que fî on V amit placé \_plus'\prés de ladite ligne.

Soit le plan horizontal AB [Fig, 1 8] appuyé fur la ligne droite CD; & qu'on y applique un poids E diftant de CD par la perpendiculaire EH; & qu'enfuite on applique le mefme poids en F, en forte que la diftance FH foit moindre que EH : je dis qu'il a plus de force pour faire incliner le plan de fon cofté, eftant appliqué en E qu'en F.

Car ayant prolongé la droite EFH en G, & faifent HG égale à HF, il eft certain qu'un poids égal à celuy que nous avons dit, eftant appliqué en G fera équilibre avec l'autre eftant en F, à caufe des bras égaux FH, HG. Mais le poids eftant tranfporté de F en E, fera incliner le plan, parce que le plan eftant fans pefan- teur, le mefme effet doit fe rencontrer icy que dans la balance de bras inégaux avec des pefanteurs égales. Donc le mefme poids placé en E a plus de force à faire incliner le plan, que quand il eft en F: ce qu'il falloit démontrer.

Seconde Proposition.

Si un pi an horizontal chargé de plu fieur s poids demeure en équilibre efîant appuyé fur une ligne droite qui le coupe en deux., le centre de gravité du plan ainfî chargé fera dans la mefme ligne droite.

Soit le plan horizontal AB chargé des poids C C, D D, [Fig. 19] & qu'il demeure en équilibre, eftant appuyé fur la droite EF. Je dis que fon centre de gravité ') fera

') Hiiygens admet donc qu'il y a certainement un centre de gravité unique, caraftérisé par la

STATIQUE.

45

[Fig. 19.] dans cette ligne EF. Car fuppofons, s'il efl:

poffible, que le centre de gravité foit quelque part hors de cette ligne au point G; & par ce point foit menée la droite HK parallèle à EF, Puis donc que le plan eftant appuyé fur le point G demeure dans fa fituation horizontale, il faut que quelque ligne droite qu'on mené dans ce plan par le point G, les poids des deux collez de cette ligne falTent équilibre. Partant les poids C C feront équihbre avec les poids D D, lors que le plan efl: appuyé fur la droite HK: ce qui efl: impoflible, puis qu'il demeuroit en équilibre eflant appuyé fur la droite EF. Car il paroifl: que toutes les difl:ances des poids d'un coftè font diminuées, fçavoir celles des poids C C, & par conféquent auiïî l'effet de leur pefanteur, mais que les difl:ances des poids oppofez D D font augmen- tées, & en mefme temps l'effet de leur pefanteur; de forte que ces derniers poids feront incliner le plan de leur coflé; & encore à plus forte raifon, fi un ou plufieurs des poids C C fe trouvent de l'autre coflé de la ligne HK. Donc le centre de gravité du plan chargé fera dans la ligne EF: ce qu'il falloit démontrer.

Troisième Proposition.

Deux pefanteurs commenfurahles *) attachées à V extrémité des bras d^une ba- lance^ demeureront en équilibre fi ces bras font en raifon réciproque des pefanteurs.

Soient les pefanteurs commenfurahles A & B [Fig. 20], defquelles A foit la plus grande, & la balance CDE, dont le bras DE foit à DC comme la pefanteur A à la pefanteur B : je dis que A eflant attaché au bout C, & B au bout E, la balance foûte- nuë au point D demeurera en équilibre.

Que l'on conçoive un plan parallèle à l'horizon pafTant par la ligne CE; & dans ce plan foient menées par les points E, Clés droites LEG, KCM perpendiculaires à CE. Puis ayant pris EF égale à CD, foient tirées GFK, MDL coupant toutes deux la droite CE à angles demi-droits, & fe coupant l'une l'autre à angles droits en N. Ces

propriété que le plan, appuyé Sur ce point, demeure en équilibre. Apparemment il ne juge plus nécessaire de faire voir(Prop. 2 de la p. 41) que sur tout axe d'équilibre il doit exister un point d'équilibre. ') Il faudroit une autre démonstration dans le cas des grandeurs incommensurables; comparez la note 3 de la p. 29 qui précède. Voyez aussi la note 8 de la p. 412 du T. XVIII.

46

STATIQUE.

lignes doivents rencontrer les deux premières que nous avons menées par E & C; fuppofons que ce foit dans les points G,K & M,L. Il efl: manifefte que EG fera égale à EF, & CK égale à CF; comme auflî que GK, ML fe couperont par le milieu au point N, & que les triangles GNL, KNM, feront femblables & égaux. Soit prife EH égale à EG & CO égale h CK; & puis que ED efl: à DC comme le poids A à B, il

[Fig. 20.]

paroift: que ED, DC font commenfurables, & que HG & KO feront demefmecom- menfurables, eflant entre elles comme EF à FC, c'efl:-à-dire, comme CD à DE. Soient donc KO & HG divifées en parties égales à leur plus grande commune mefure; & les grandeurs A & B divifées de mefme. De cette forte il y aura autant de parties de la pefanteur A, qu'il y a de parties dans la ligne KO; & autant de parties delà pefanteur B, qu'il y a de parties dans la ligne HG: IcfqucUes parties de pefanteur efliant toutes égales, foient attachées chacune au milieu d'une des parties des lignes KO, HG.

Nous montrerons maintenant que ces pefanteurs efliant ainfi difpofées, le plan de- meure en équilibre lors qu'il eft appuyé au point D. D'où la vérité de la propofition fera manifefle; parce qu'on peut concevoir que toutes les parties du plan font oftées, & que les feules lignes KO, HG, chargées des poids égaux à ceux de A & de B, de-

STATIQUE. 47

meurent appuyées fur les extrémitez de la balance C & E : car le plan eflant (ans pe- fanteur, fes parties oftées ne peuvent en rien changer l'équilibre.

Pour montrer donc que l'équilibre du plan chargé, ainfi qu'il a efl:é dit, fe fait fur le point D, foient menées de chaque poids des perpendiculaires fur la ligne LM, prolongée autant qu'il efl: nécclTaire, comme RS, ZI, TV, XY &c.

Maintenant les perpendiculaires TV & RS, qui defcendent des poids les plus pro- ches des points G & K, feront égales entre elles; parce que les triangles GNL, KNM eflant égaux & ferablables, comme il a efté dit, & le coflé GL égal à KM, & l'inter- tervalle GT à KR, comme eftant chacun la moitié d'une des parties égales faites par la divifion des lignes HG, KO, il efl: évident que les lignes TV, RS feront auffi égales, comme il a eflé dit. Donc fi on appuyé le plan par la ligne LMQ, le poids T fera équilibre contre le poids R. De mefme à caufe de l'égalité des perpendiculaires XY & ZI, le poids X fera équilibre contre Z; & ainfi confécutivement tous les poids de la ligne GH feront équilibre contre autant de poids pris depuis K dans la ligne KO: c'efl-à-dire, que fi l'on prend la partie KP de cette ligne égale à GH, ce feront les poids attachez entre K & P qui feront équilibre contre tous ceux de la ligne G H.

Si donc les poids reftans dans la ligne PO font aufîi équilibre les uns contre les au- tres fur le plan appuyé par la ligne LMQ; il s'enfuivra que le plan chargé de tous les poids demeurera en équilibre fur cette mefme ligne.

Or, l'équilibre de ces poids reflans fe prouve ainfi. Puis que KO efl égale à deux fois CF, & KP égale à HG, c'efl-à-dire à deux fois CD, il faut que PO foit égale à deux fois DF. Mais MO efl: égale à DF, parce que CM eft égale à CD : donc MP efl la moitié de PO. De forte que la ligne PO qui contient le nombre des parties dont KO furpaffe HG, eflant coupée en deux parties égales par la droite LMQ, il eft manifefle qu'il y aura nombre égal des poids que contient cette ligne PO des deux coflcz du point M, & rangez à pareilles diflances; & que fi le nombre de ces poids efl impair, celuy du milieu fera dans le point M. D'où il s'enfuit que les perpendiculaires, qu'on a menées des mefmes poids fur la ligne LMQ font égales chacune à fa correfpondante, & que par conféquent les poids font équilibre lors que le plan efl: appuyé par la ligne LMQ; ce qui ayant eflé aufîi démontré des autres poids des lignes PK & HG, il s'en- fuit que le plan avec tous les poids demeure en équilibre eflant appuyé par la ligne LMQ. Le centre de gravité du plan ainfi chargé efl: donc dans cette ligne. Mais ce centre de gravité eft aufli dans la ligne CE, parce qu'il efl: évident que le plan fait équi- libre eflant porté fur cette ligne. Donc il faut que ce foit le point commun à ces deux lignes LMQ & CE, fçavoir le point D, fur lequel le plan eflant appuyé il demeure en équilibre '). D'où fe conclut, comme il a eflé montré cy-deflus, la vérité du théorème.

') On pourrait peut-être ne pas admettre qu'il existe nécessairement — voir la note i de la p. 44 — un centre de gravité ou centre d'équilibre unique. E. Mach, dans son ouvrage déjà cité dans la note 5 de la p. 43, reproche à Huygens d'admettre sans raison suffisante qu'il y a équilibre autour de toute droite du plan passant par l'intcrseftion de deux axes d'équilibre.

FORCE NÉCESSAIRE POUR FAIRE SURMONTER À LA ROUE D'UNE CHARRETTE UN OBSTACLE DONNÉ.

[1668]

[Fig.2I.]0

VI, § I. Des poids ^} égaux eftant chargez fur des charrettes 3) dont les roues de l'une foient plus hautes que celles de l'autre, il faut pour vaincre la refiftence qu'apportent les che- mins raboteux, que la force qui tire les petites roues a celle qui tire les grandes, foit en raifon fousdoublee ou mefme un peu plus de celle qu'a le diamètre des grandes roues au diamètre des petites. Par exemple fi les grandes roues font deux fois fi hautes que les petites, 5 chevaux n'auront pas tant de peine à tirer un canon chargé fur les grandes [Fig. 2 1 ] que 7 chevaux a tirer le mefme canon chargé fur les petites.

Soit AB la grande roue , DE la petite [Fig. 2 2],

qui roulant toutes deux fur un plan horizontal

qu'elles touchent en B et E, rencontrent des hauteurs égales a funnonter HG et KL,

par exemple des pierres qui foient dans le chemin horizontal BE, et pofons que leurs

fardeaux égaux appuient fur les centres C, F. La roue AB touchant fa pierre au point

') Manuscrit C, p. 259. Les p. 251 et 261 portent respeâivement les dates de mai 1668 et du 14

juillet 1668. Voir sur cette Pièce la p. 19 qui précède. ^) Leçon alternative: fardeaux. 3) D'après la p. 107 (Livre I, Ch. II) du T. I de l'^Etude sur le passé et l'avenir de TArtillerie" par

le prince Napoléon Louis Bonaparte (Paris, J. Dumaine, 1846) on se servait en ce temps

de r„expression de charrettes pour désigner les gros calibres". 4J Les connaisseurs de l'histoire de l'artillerie nous assurent qu'il s'agit ici d'un dessin fantaisiste;

on ne connaît pas de canon placé au-dessous de l'axe de l'affût.

STATIQUE.

49

[Fig. 22.]

G, foit mené par le centre C le diamètre RCG qui eftant produit rencontre BE en W, et CM perpendiculaire a ce diamètre, rencontrant le plan BE en M. et foit fait de mefme a legard de la roue DE, qui rencontrant la pierre en K, le diamètre mené à ce point foit VFK rencontrant BE en T, et foit FN perpendiculaire fur ce diamètre. Il eft certain qu'après que la roue AB aura rencontré la pierre en G, fon centre com- mencera a fe mouvoir dans une circonférence de cercle décrite du centre G, et dont la tangente au point C eft CM, de forte qu'il faut la mefme force pour la tirer en avant comme fi on vouloit faire monter le fardeau le long du plan incliné MC, en tirant par la corde horizontale CI. D'où s'en fuit par la précédente '} que la force qui tire par cette corde doit eftre au poids abfolu du fardeau, comme la ligne CB à BM, c'eft a dire comme WB à BC. De mefme pour tirer la roue DE après qu'elle a touché a la pierre en K il faut que la force qui agit par la corde horizontale FZ foit au poids abfolu du fardeau comme la ligne FE ad EN, ou comme TE à EF.

Du rayon CB foit couppée CP égale au rayon FE, et menée PQ parallèle à BH. Donc puifque la force qui tire la roue AB eft au poids abfolu du fardeau comme WB à BC, c'eft a dire comme QP a PC, et que la force qui tire la roue DE eft au mefme poids abfolu du fardeau comme TE a EF égale a PC, il s'enfuit que cette dernière force eft a la première comme TE a PQ. Or parce que KL, GH font égales et l'angle LKT plus grand que HGW, il s'en fuit que KT eft plus grande que GW. Partant le I I VKT aura plus grande raifon au | | WGR que KV à GR. Et adjoutant au I I VKT le quarrè TK, et au CI] WGR le quarrè WG, les 2 premiers c'eft a dire le I I VTK, aura plus grande raifon au deux derniers, qui font le | | RWG, que KV à GR. Mais le CZI VTK eft égal au quarrè TE, et le CZl RWG égal au quarrè WB; donc le quarrè TE aura plus grande raifon au quarrè WB que le diamètre VK au diamètre RG. c'eft a dire que FE ou PC a CB, ou bien que PQ a BW. Et partant TE eft plus grande que moiene proportionnelle entre PQ et BW. d'où s'en fliit que

*) C.à.d. par la p. 258 du Manuscrit C, mentionnée aussi dans la note i de la p. 34 qui précède.

7

50 STATIQUE.

la raifon de TE à PQ, qui efl: la mefme que celle de la force qui tire la roue DE a celle qui tire la roue AB, efl: plus grande que fous double de la raifon de BW a PQ, c'eft a dire de BC a PC, ou bien de celle du diamètre AB au diamètre DE, ce qu'il falloit demonftrer.

Le § 2 efl: tiré du T. III des Regiftres de rAcadémie des Sciences.

VI, § 2. Du Mercredy i le Juillet 1668.

Le Mercredy 1 1^ jour de Juillet 1668 la Compagnie efl^ant aïïemblée au lieu or- dinaire on a continué de traifter , quelle eft l'aduantage des grandes roiies fur les petites pour la facilité du charoy.

Sur cela Mr Hugens a diél, que des fardeaux égaux eft:ant menez fur des roiies de différente grandeur, il faut pour vaincre la refiflence qu'apportent les chemins rabot- teux que la force . . . etc., comme au § i. Les variantes font abfolumentinfignifiantes.

Après Huygens Mariotte parla fur le même fujet. Roberval en avait déjà parlé le 4 juillet (et après lui Buot). Il fuppofe, comme Huygens, que la roue „rencontre dans le chemin quelque pierre dont la hauteur prife a plomb foit [donnée]".

Voyez aufïï les p. 40 — 41 de r„Hifloria" de du HameL

VIL

SPARTOSTATIQUE.

[1667 et 1688-1691]

[Fig. 23.]

[Fig. 24.]

VII, A '). § I. Sit [nodus] in C [Fig. 23]. Ergo PE raccourci de DE

QE de AE SE alongè de BE. Oportet DE in /> + AE in ^ — BE in ^ do o ^).

') La partie A de la Pièce VII — la division en § § est de nous, comme partout ailleurs — est em- pruntée aux p. 196 — 205 du Manuscrite, lesquelles contiennent encore plusieurs autres figures dans le genre des Fig. 23 et 24, ainsi que des calculs plus amples. Les p. 194 et 203 du Manuscrit portent respectivement les dates du 1 5 aoiU et du 5 septembre 1667, la p. 231 celle du 25 février 1668. — Les §§ 4 — 6 sont reproduits dans l'écriture de Huygens aux f. 1 18 et 1 19 desCharta;

5a

STATIQUE.

VII, A. § 2. CA in P — CB in R — CO in S 00 o 3) [Fig. 24]. sin TEP in F — sin TER in R — sin TES in S do o

abc sin FER in R — sin PES in S — sin PET in T c» o

d e a

sin RES in S + sin RET in T — sin REP in F oo o

/ h d

sin SET in T + sin SEP in F — sin SER in R 30 o

c e f

fr — et es -\- at

ou /► 00 *■ r 00 -j —

'^ e d

s DO

ap — ^r ^^ dp—fs e b

d'où l'on peut tirer les tenfions lorfque les angles font donnés.

[Fig. 25.]

1"

H) — r^

raechanicjB. La date „5 Sept. 1667" — voir le § 5 du texte — s'y trouve au § 4. Nous n'indi- quons pas les variantes des § § 4 et 5.

Du Hamel dit dans son „Historia" (p. 40) que Huygens traita le problème de l'équilibre des

cordes à l'Académie en 1667 et le „scripto exposuit": comparez la note 4 de la p. 53 qui suit.

■') Le noeud des trois cordes PE, QE, SE ayant été transporté de E en C , Huygens écrit l'équation

qui exprime que la somme des travaux est nulle; />, q&ts représentent évidemment les tensions

des cordes. Comparez sur le principe des déplacements virtuels la p. 16 qui précède.

STATIQUE.

53

VII, A. § 3. Datis quatuor ponderibus quorum chordae A7, A3, As, A8. com- muni nodo ad A conneduntur [Fig. 25]. Invenire quales angulos inter fe chordae illae efficere debeant. Unus angulus A7, A3 fumatur ad lubitum, et in chordis A7, A3 fumantur diftantiae AH, AK quze fint inter fe ut pondéra 7 ad 3. et compleatur paral- lelogrammum KH. cujus diameter BA producatur verfus A et fumatur in ea AC s- qualis AB. Porro ut pondus 3 ad 2 ita fit AK ad reélam Q et ut pondus 2 ad pondus 8 ita fit Q ad R. Et fuper reéta AC fiât triangulum AFC cujus latus AF oo Q ; et FC 00 R. (Quod fi Q + R fint minores quam AC, indicio eft angulum 7A3 majorem fumi debuifle). Deinde ducatur AG parallela FC. Eruntque AF, AG chordse ponderum 2 et 8.

Si enira eflent chordae très duntaxat A7, A3, AC trahereturque chorda AC pon- dère quodam quod ad pondus 7 effet ut AB veï AC ad AH. confiât fore aequilibrium manente nodo in A. Atqui tantundem efficiunt pondéra 2 et 3 trahentia chordas AF, AG, atque pondus illud trahens AC. Ergo et pondéra 2 et 3 trahentia chordas AF, AG aequilibrium facient cum ponderibus 7, 3, trahentibus chordas AH, AK.

VII, A. § 4 ^). Si punftum A [Fig. 26] trahatur per fila duo AB, AC, angulum facientia, fintque po- tentiîe trahentes ut filorum ipforum AB, AC longitudines multipliées fecundum numéros datos N et O. ac jungatur BC et dividatur in E, ut reciproce fit CE ad EB ficut nu- merus N ad O, et jungatur AE, dico attradlioni filorum AB , AC per diélas potentias aequipoUere attrac- tionem per filum AE, à potentia quse fit ut longitudo AE multiplex fecundum numerum îequalem utris- que N et O.

Producantur enim AB, AC et fit AF multiplex AB fecundum nume- rum N. Et AG multiplex AC fecundum numerum O. Et jundla FG, occurrat ei AE produfta in H; fintque BK, CL parallèle AH.

3) Ici les tensions des quatre cordes sont représentées par P, R, S, T ou />, r, 5, /. Huygens con- sidère quatre déplacements virtuels respectivement perpendiculaires aux quatre cordes, ce qui donne 4 équations.

*") Le texte des §§ 4, 5 et 6 a été publié dans la version des „Chartae mechanicaî" (comparez la note i

54

STATIQUE.

Eft ergo FH ad HK ut FA ad AB, hoc eft, ut numerus N ad unitatem. HK vero ad HL ut BE ad EC, hoc eft, ut numerus O ad numerum N. Ergo, in proportione perturbata, erit FH ad HL ut numerus O ad unitatem, hoc eft, ut G A ad AC, five ut GH ad HL. Ergo cum ratio FH ad HL fit eadem, quîe GH ad HL, erit FH aequalis HG.

Sit jam AH continuata in P ut fint asquales AH, AP, et jungantur PF, PG. Eritque FAGP parallelogrammum ad cujus diametrum PA ducantur FQ, GR parallelae BC. Et manifeftum eft fieri triangula fimilia et sequalia FPQ, GAR, quorum latera inter fe îequalia PQ, RA. Eft autem AE ad AQ ut AB ad AF, hoc eft, ut unitas ad nume- rum N. Eadem vero AE ad AR ut AC ad AG, hoc eft ut unitas ad numerum O. Ergo AE ad utramque fimul AQ, AR five AQ, AP ut unitas ad utrumque numerum NetO.

Cum ergo potentiœ fila AB, AC trahentes fint ut AF, AG, ijfque îequipolleat at- traftio per fikmi AE in potentia quae fit ut AP, manifefta eft propofitionis veritas.

VII, A. §5. 5 Sept. 1667. Datispofitione punélis quotlibet, fivein eodem piano fuerintfive non: fi à punfto, quod eorum commune eft gravitatis centrum, ad unum- quodque datorum fila extendantur, eaque fingula trahantura potentijs, quœ fint inter fe ut filorum longitu- dines;fiet equilibrium manente nodo commun! in diélo gravitatis centro. Sint data pofitione pundta A, B, C, D, E [Fig. 27], quœ vel in eo- dem piano vel aliter utcumque col- locata concipiantur. Attributa au- tem fingulis œquali gravitate , con- fiât commune eorum gravitatis centioim inveniri hoc modo. Nempe jungantur duo quîelibet datorum punftorum refta AB; qua bifariam fefta in F, erit hoc centrum gravitatis punftorum A, B. Ducatur deinde ad punélum tertium reéla FC, quse fece-

de la p. 56) dans les „Divers Ouvrages de Math, et de Phys. par MM. de l'Ac. R.d. Sciences" de 1693 , p. 3 1 7 — 319) sous le titre „De potentiis fila funesve trahentibus". Le texte des „Divers Ouvrages" s'accorde avec celui des Registres de l'Académie des Sciences, T. II, p. 142 — 147 (comparez le deuxième alinéa de la note i de la p. 51).

STATIQUE.

55

tur in G, ut CG fit dupla GF, et erit G centriim gravitatis punélorum trium A, B, C. Rurfias ducatur GD ad punftum quartum, feceturque in H ut DH fit tripla HG, et fiet H centrum gravitatis pundlorum quatuor A B C D. Denique duéla HE ad punélum quintum E, fecetur ea in K ut fit EK quadrupla KH; eritque K centrum gravitatis punftorum quinque A B C D E. fimilique ratione quotlibet punftorum centrum gravitatis inveniri liquet.

Porro extendendo fila a pundo K ad A, B, C, D, E, quse trahantur a potentijs quse fint inter fe ut ipfe longitudines KA, KB, KG, KD, KE;dico fieri aequilibrium manente nodo communi in K.

Ducantur enim a centris gravitatis inventis F, G , H , ad centrum gravitatis omnium punélorum K, lineae reftse FK, GK, HK. Itaque confl;at filis AK, BK punftum K trahentibus cum potentijs quîe fiant ut longitudines horum filorum, sequipollere po- tentiam trahentem filum KF, quaj fit ut dupla KF. Rurfus vero filo KF trahenti cum potentia quce fit ut dupla KF, et filo KC trahenti cum potentia quîe fit ut longitudo KG, his inquam duobus œquipollet filum KG traftum a potentia quse fit ut tripla KG, per propofitionempraecedentem. Et fimiliter filo KG ita traélo, et filo KD à potentia quîe fit ut longitudo KD, sequipoUet filum KH tractum à potentia quse fit ut qua- drupla KH. Ergo filis KA, KB, KC, KD punftum K trahentibus, œquipollet filum KH traélum a potentia quîE fit ut quadrupla KH, hocefl:,ut KH multiplex fecundum numerum punélorum A, B, C, D. Atqui filo HK in direélum opponitur filum KE, traélum a potentia quïe efi: ut longitudo KE, id efl:, ut quadrupla KH. Ergo cum filis KH et KE^cum potentia œquali trahentibus ac direéle fibi invicem oppofitis, neces- fario punélum K locum fiaum fervaturum fit, fequitur etiam filis KA, KB, KC, KD uti diélum eft trahentibus, et ex alla parte filoKE, nodum K reftare immotum. quod erat demonftrandum.

[Fig. 28.]

Pon\intautem et binorum quorum- que punélorum centra gravitatis pri- mum inveniri, et per hzec deinceps contra quaternorum, et per haec oélo- norum, prout numerus punélorum patietur. qua ratione fimplicior plerum- que fit demonftratio, ac praefertim fi punélorum numerus fit pariter par. ut fi quatuor data fiaerint A, B, C, D [Fig. 28], five in eodem piano, five non: junélis AB, DC, divifisque bifii- riam in E, F, erunt hsc centra gravi- tatis punélorum A, B et C,D, et junéla deinde EF divifaque bifàriam in G, erit hoc centrum gravitatis commune

5<5

STATIQUE.

omnium punftorum A, B, C, D. Quod fi jam nodus G trahatur per fila GA, GB, GC,<jîDcum potentijs quîe fint inter fe ut hx ipfe longitudines, dico fieri aequilibrium. Confiât enim filis GA, GB sequipoUere filum GE traftum à potentia quœ fit ut dupla GE. Filis vero GC, GD aequipollere filum GF, traftum a potentia quîe fit ut dupla GF. Cum ergo GE, GF sequales fint unamque lineam reftam efficiant, eodem modo punftum G trahitur ac fi traheretur a potentijs ajqualibus per fila GE, GF. Unde immotum manere necefie eft. quod erat demonftrandum.

[Fig-sp.] VÎI,A.§6. Confiât vero, fi punfta A, B,C,

D [Fig. 29] non fint in eodem piano fi3re G cen- trum gravitatis pyramidis, cujus anguli ipfa punfta A, B, C, D. quoniam in omni pyramide centrum gravitatis fi^lidi efl: idem quoque centrum gravi- tatis quatuor punélorum angularium. Sit enim pyramis A, B, C, D. et fit H centrum gravitatis trianguli bafeos DAC, quod idem quoque patet efle centrum gravitatis trium punétorum D, A, C; nam produfta DH, fecat latus AC bifariam unde K centrum gravitatis punétorum AC. ipfa vero DK dividitur in H, ut DH fit dupla HK. unde liquet punétum H efle centrum gravitatis pundo- rum A, B, C. Jam vero HB dividitur a centro gravitatis pyramidis G ut fit BG ad GH ut 3 ad i. unde confiât pundUim G eflTe quo- que centrum gravitatis quatuor punftorum angularium A, B, C, D ').

') Dans les „Charta mechanica;" — comparez la note i de la p. 51 — le texte correspondant à ce que nous appelons ici le § 6 est le suivant: Confiât vero, fi punfta A, B, C, D non fint in eodem piano, fiare G centrum gravitatis pyramidis cujus anguli hœc ipfa quatuor punfta. Cum in omni pyramide idem fit centrum gravitatis ipfius folidi, et quatuor punélorum angularium,utoftendere facillimum ei[. Et hinc patet veritas theorematis Robervalliani, quod fi a centro gravitatis pyramidis fila tendantur ad 4 angulos, quae trahantur a potentijs quze fint inter fe ut filorum ipforum longi- tudines, fieri îequilibrium manente nodo in diélo gravitatis centro.

Ce texte s'accorde exactement avec celui qu'on trouve à la p. 147 du T. II des Registres de l'Académie des Sciences de Paris. — La Pièce entière (nos §§4 — 6) y occupe les p. 142 — 147.

Quant au „theorema Robervallianum", on trouve en effet aux p. 85 — 113 du T. II des Registres un traité de Roberval „du centre de granité", contenant" douze propositions et leurs démonstrations, dont la onzième est la suivante: „Tout ce que dessus estant supposé comme démonstré, je dis que s'il y a quatre puissances aux quatre points A, B, C, D, qui tirent parles

STATIQUE.

57

VII, A. § 7. Datis quatuor reflis ab uno punfto A eduélis ut AB, AC, AD, AE [Fig. 30], quîeque ita fint pofitas ut piano quovis per A duélo non fint omnes ad par- tem ejus eandem nec très in ipfo piano; Invenire pyramidem FNOK, cujus anguli fint in prsediélis lineis reftis, centrum vero gravitatis in punfto A.

Intelligatur una datarum linearum ut EA produci, fumtaque in ea AF ad arbitrium, ponatur ex altéra parte AG sequalis trienti AF. Oportet igitur duccre planum per punftum G, quod occurrens réélis AC, AD, AB in punélis O, K, N, faciat ut G fit centrum gravitatis trianguli OKN. Sic enim pyramis qusefita erit FOKN, cujus cen- trum gravitatis punftum A; quoniam FG, quze a vertice ad centrum gravitatis bafeos NKO dufta efl:, dividitur in A ut FA fit tripla AG. Ut igitur inveniatur pofitio plani iftius per punftum G ducendi intelligatur planum duci per reftas AK, AG, itemque aliud per AN, AO, fitque eorum interfeétio refta AL. Jam ducatur GH parallela AL, occurratque reélœ AD in H, et fumatux AK tripla AM; et ducatur KG, quas produéla occurrat ipfi AL in L. Ergo et KL erit tripla GL. Jam in piano ANO , ducatur LM parallela AO , occurratque ipfi AB in M, et fumatur AN dupla AM, et ducatur NLO, occurrens reft^e AC in O, Erit jam NO dupla quoquc NL. ficut NA dupla efl: NM. Itaque G erit centrum gravitatis trianguli NKO, cum KL dividat bafin NO bifariam fitque fefta in G ut KG fit dupla GL. Ergo jundis OF, OK, KN, KF, NF pyramis NFOK erit quse qusrebatur.

quatre lignes qui aboutissent au centre, I, qui soient autant de Cordes I A, IB,IC,ID, ces quatre puissances estant supposées estre en équilibre, elles seront proportionnées entre elles comme leur quatre Cordes". D'après la p. 162 du même Tome, ce traité fut lu par Roberval le 27 avril 1667.

8

58

STATIQUE.

[Fig. 31.] [Fig.sibis.]

VII, B. § I '). 20 Dec. 1688. Theorema: Si fuerint in piano, ad horizontale planum ereclo, àuse linea; refts AE, AQ [Fig. 31] a punfto A deorfum tendentes, intraque angulum ab ipfis comprehenfum aptetur linea redla TQ ita polita ut quse ex adfumto in ea punélo D ad perpendiculum defcendit tendat ad pundlum M in que conveniunt qua? a line^e aptatse terminis T, Q perpendiculaies ducuntur in reftas diétum angulum efficientes. Punftum D in linea aptata adfumptum inferiore loco in- venietur quam alio quovis pofitu ejufdem lineœ intra eundem angulum.

^) Les §§ I — 6 de la partie B de la Pièce VII sont empruntées aux p. 8 — 1 1 du Manuscrit G. Il s'agit dans le § i de déterminer la position d'équilibre de la barre inflexible et impondérable TDQ, portant un poids en D et pouvant glisser en T et Q sur les droites AT et AQ se trouvant dans un même plan vertical. Huygens n'ignore pas que le lieu des points D est une ellipse; c'est ce qu'indiquent trois figures des p. 6 et 7 du Manuscrit, dont nous reproduisons la dernière [Fig. 31 bis]. Nous ne reproduisons pas les considérations géométriques se rapportant à ces figures. Il s'agit évidemment de déterminer la position du point le plus bas de cette ellipse, mais nous ne voyons pas que les équations écrites conduisent à ce but. Comme on voit, Huygens a ensuite résolu le problème sans parler de l'ellipse. L'interseftion des perpendiculaires TM et QM donne le centre instantané de rotation (comparez la note 4 de la p. 401 du T. XVIII); la tan- gente à la courbe décrite p. e. par le point D attaché à la barre est donc perpendiculaire à MD, et comme cette tangente doit être horizontale, il faut que la droite MD soit verticale.

Huygens s'était occupé de ce problème déjà en 1646; voir sa lettre à Mersenne (p. 40 — 44

STATIQUE. 59

Aptetur enim reéla ipfi TQ sequalis alio pofitu, fitque CE. Et ut QT divifa eft punéio D ita dividatur CE punélo F. Sit autem punftum C illud quod verfus A afcen- dit, E vero quod ex T defcendit, nam fi E non defcendat afcendente C jam manifes- tum erit punétum F altius eflTe quam D. Dico autem et defcendente E, pundum F altius eiïe punfto D.

Sint enim CN, EK perpendiculares in QT qua opus produftam. Quia autem an- guli CQN, ETK finguli minores reélo, cadet neceflario punftum N inter QT et K extra. Agantur porro QL, EH parallèle DM,ijfqueoccurrantadangulosreftosCL, TH. Eft ergo QL menfura afcenlus pundi Q in C tranflati, et HE menfura defcenfus punfti T tranflati in E. Sint etiam DO, DG perpendiculares redis QM, TM. Et jungatur AM quam fecet in B ad reftos angulos QV occurrens redise TM in V. Ac denique fumpta TX in refta AE sequali CQ cadat XY perpendiculum in TH. Quia igitur CQ parallela eft DO, et QL parallela DM, erit angulus CQL aequalis' MDO, ideoque et angulus QCL «qualis DM0 et triangulum CLQ fimile MOD. Simili ra- tione quia TE parallela DG, et EH parallela DM, erit angulus TEH îequalis MDG, ideoque et angulus ETH a?qualis DMG et triangulum TEH five TXY fimile MDG. Sicut igitur LQ ad QC ita OD ad DM, et ficut QC five huic a.>qualis TX ad XY ita DM ad DG. Ergo ex aequo ficut LQ ad XY ita OD ad DG. Quia itaque ratio LQ ad HE componitur ex ratione LQ ad XY, et ex XY ad HE, feu XT ad TE; compo- nitur eadem ratio LQ ad HE ex ratione DO ad DG et ex TX feu CQ ad TE. Sed ratio hscCQ ad TE major eft, ut poftea oftendetur, ratione QM ad MT. Ergo ratio LQ ad HE major erit quam compofita ex DO ad DG, et ex QM ad MT. Ex his vero componitur ratio trianguli MDQ ad triangulum MDT, eftque horum triangulorum ratio ea quae QD ad DT. Ergo ratio LQ ad HE major erit quam QD ad DT. Trans- pofita itaque refta QT in CE, major eft ratio afcenfus termini Q, qui eft QL, ad defcenfum termini T qui eft HE, quam QD ad DT unde conftat punclum D, quod jam eft in F, altius faftum efte, quia nempe in eadem qua prius altitudine manfiftet fi diftus afcenfus ad defcenfum eandem rationem habuiflet quam CD ad DT. Semper autem afcenfus ad defcenfum ratio major efle probatur.

Quod autem diétum eft rationem CQ ad TE majorem efte quam QM ad MT, id fie oftenditur. Quia punfta T A Q M funt in circuli circumferentia erunt squales anguli AQT, AMT, ideoque triangula reftangula fimilia QNC, MBV. Eademque ratione anguli sequales erunt AMQ, ATQ, hoc eft ETK, quam ob rem et triangula reélangula fimilia erunt MBQ, TKE. Sicut igitur MV ad MB ita CQ ad QN, et ficut

du T. I); consultez aussi la note i de la p. 35 du T. I. Mais en 1646 il n'avait considéré que le point milieu de la barre mobile; il avait réussi à prouver que ce point-là décrit une ellipse. Comme en 1688, c'était en réalité de spartostatique qu'il s'agissait.

6o

STATIQUE.

MB ad MQ ita KT ad TE. Quod fi jam QN, KT squales eflent, coUigeretur ex x- quo eïïe ut MV ad MQ ita CQ ad ET. Sed KT minor eft quam QN. Nam quia CE œqualis TQ, CE vero major quam NK, erit et TQ major quam NK, et ablata com- muni NT fiet KT minor quam NQ. Itaque ratio CQ ad ET major erit quam MV ad MQ. Eft autem ut MV ad MQ ita MQ ad MT, propter fimilia A'" VMQ, QMT quippe angulum communem ad M habentia cum prseterea angulus BQM feu BAQ fit squalis MTQ eo quod punéta A Q M T fint in circuli circumferentia. Itaque ap- paret rationem CQ ad TE majorera quoque efle quam MQ ad MT. quod probandum fiipererat.

[Fig. 32.] VII, B. § 2. Ex Fune ABCD

fuffixo in A et D [Fig. 3 a] pendeant A ^ ■^ ]\ I alligata pondéra in B et C. Dico fi

' \ \ ' ex punéto E quo conveniunt pro-

duétas AB, DC, ducatur horizonti perpendicularis EF, eam fecare BC, ut fit BF ad FC ficut gravitas in C ad gravitatem in B.

Perficiantur enim parallelogram- mata EFGB, EFLC, et fumta CH ^ œquali BF, ducatur reftœ CD pa- rallela HK, quœ occurrat re&ix CL in K. Eft igitur gravitas in B ad po- tentiam attrahentem punélum B verfi.is C, ficut GB ad BF, per prîc- cedentem. Eadem vero eft potentia attrahens B verfijs C, ei qua C verfiis B attrahitur, quippe cujus utriufque menfiira eft tenfio funis BC '). Eftque potentia hœc qua C ad B trahitur ad gravitatem C fi.is- penfam, ficut HC ad CK, ex prœcedenti. hoc eft ficut BF ad CK. Erit igitur ex asquo gravitas ex B ad gravitatem in C ficut GB ad KC, hoc eft ficut LC ad KC, hoc eft, ficut FC ad CH five ut FC ad FB, quod erat demonftrandum ').

i

Quod îequalia non poflunt fervare locum, fi perpendicularis abinterfeélioneE non

') En marge: in altero cafti, pellens B verfus C ei qua C pellitur verftis B, quippe cum

nec B pellat C, nec C pellat B. ^) En 1646 (voir la note i de la p. 58) Huygens n'avait démontré cette proposition que pour le

cas où les poids suspendus en B et C sont égaux.

STATIQUE.

6l

[F'g-34-] li

[Fig. 33-]

fecat BC jequaliter [Fig. 33]. Si enim tune fit ponderum in C et B ea ratio quœ BF ad FC, manebunt fuis locis. Ergo diminuto pondère ex C donec a^quale fit pendenti ex B, non amplius manebunt.

Ex fune NTQO fixo in N, O [Fig. 34] pendeant pondéra P, R ligata in T et Q, ita ut fi a punfto M, quo conveniunt produftae NT, OQ, ducatur piano horizontis ad angulos reftos MD, ea fecet TQ ut fint reciproce TD ad DQ ficut gravitas R ad P. dico pondéra ita fufpenfa eo pofitu permanere.

Si enim non manent transferatur fi.mis NT in NS et OQ in OG, adeoque TQ in SG, et dividatur SG in V fimiliter ac TQ in D. fitque S altius vel asque akum ac G. Sit ATE fiani NT ad angulos recftos, itemque AQ funi OQ. Itaque AE, AQ fecabunt SG, quia S et G funt in circumferentijs circulorum tangentium redas AE, AQ in T et Q. fint autem diftarum interfecHonum punâ:a K et H.

Manifefl:um vero reftas AE, AQ deorfum eiïe inclinatas,angulosque ATQ, AQT fingulos minores refto, quia refti ATN, AQO; minores vero duobus reélis finguli NTQ, OQT, propter flexum funis NTQO in T et Q.

Quod fi jam intra angulum EAQ aptetur EC parallela et gequalis SG, ea major erit quam KH; ideoque punélum E inferius quam K, ac proinde inferius quoque quam S quia refta GS verfiis S afcendere pofita fuit, vel horizonti elfe parallela. Itaque pun- ftum X quo EC divifa ponatur fimiliter ac SG in V humilius erit punélio V. Atqui punélum X altius efl: punfto D, per prîecedentem. Ergo multo magis punftum V al- tius erit quam D. Atque ita centrum gravitatis ponderum P, R afcendifiet, quod impofllbile.

VII, B. § 4. Quand la pefanteur agit vers un point O [Fig. 35] ... 3).

5) Les poids E et F de la Fig. 35 sont fiftifs et ne servent qu'à indiquer la tension des cordes im-

6s.

STATIQUE.

[Fig- 35.]

Pour déterminer comment demeurera fituée la corde ABCD, avec des poids e- gaux E,F attachez en B,C, il faut trou- ver telle fituation , que la femme de EO et OF foit la moindre poflîble. Et fi les poids E,F font inégaux, il faut que EO multipliée par le poids E, et FO multi- V^ pliee par le poids F, facent enfemble .la moindre fomme.

Car par exemple fi le poids F eftoit double de E, il faudroit s'imaginer qu'il y a deux poids comme E pendus en F. Et alors il efl: certain que la fomme de EO et de deux fois FO devroit eftre la moin- dre poffible, afin que le compofè de tout le poids fufl: aufli proche de O ') qu'il le pourroit.

Or il faudroit, fuivant le P. Pardies, que les 2 poids égaux [NB et MCJ de- meuraflent lors que AB, DC prolongées fe rencontrent dans la droite OG qui divife l'angle BOC en deux parties éga- les *). Car alors il veut que le centre de gravite des poids E,F, ou des lignes également pelantes NB, MC, fe rencontre dans la droite OGV; ce qui n'efl: point; car s'il s'y rencontroit, comme en X, alors HX feroit a XK comme HO à KO, qui efl;ant tous- jours inégales, finon alors que BO, OC font égales, les poids H et K ne feroient point égaux, contre l'hypothefe 3),

Je puis démontrer que OG prolongée doit paffer par le centre de gravité des poids placez en B, C+).

pondérables. Dans la suite Huygens désigne, paraît-il , par EO et OF ou FO les longueurs des cordes BO et CO (dont les prolongements passent par l'anneau O et portent des poids à leurs extrémités). Il est vrai qu'en considérant BE et CF comme des longueurs constantes, d'ailleurs arbitraires, on peut également parler dans les propositions du texte des longueurs EO et FO (au lieu de BO et CO), mais ce serait là une bizarrerie inutile. L'anneau O occupe évidemment une position invariable, comme les points A et D; le centre de gravité des poids (E et F") sus- pendus aux deux cordes au-dessous de O tend à descendre autant que possible.

STATIQUE,

63

[Fig. 3<5.]

2

î /^

^) Ou plutôt „aussi loin de O", lorsque les poids se trouvent au-dessous deO. L'alinéa suivant fait voir pourquoi Huygens, dans la Fig. 35, a placé les poids au-dessus de O; le cas qu'il considère lui a été suggéré par un autre problème envisagé par Pardies (notes suivantes).

*) Ce qui serait exad (comparez la note 4 qui suit) dans le cas de forces tirantes égales £ et F.

3) Pardies dans les Chap. 79 et 80 de son traité de 1 673 „La Statique ou la Science des forces mou- vantes" ne considère pas le cas dont il est question dans les alinéas précédents (poids suspendus à des cordes passant par l'anneau O). Il écrit: „Si l'on suppose [Fig. 36] que les lignes de direc- tion Yb, EC, ce ne sont pas parallèles, mais qu'elles concourent en bas au point B, la corde se

rallongeant, se courberoit en Hyperbole La raison en est, que divisant en deux également

l'angle «BA par la ligne BF, l'angle <?BE [lisez «BF] par la ligne BE, & l'angle ^BE par la ligne Be; &c. & supposant que les portions des lignes ec, Ec, ec, Yb, &c. étant également pesantes, sont appuyées sur un filet indivisible; il est manifeste que le centre de gravité de toutes les lignes qui sont entre <7 & A se trouvera au milieu, sçavoir en la ligne F^ prolongée, s'il en est besoin; & le centre de celles qui sont entre « et F se trouvera aussi en la ligne de leurs milieux, sçavoir enBC,&c."

Il n'est pas clair comment les barres pesantes telles que Ec sont maintenues en place, ni pourquoi ces barres exerceraient des forces dans le sens de leurs longueurs comme Pardies semble le supposer.

A la p. 9 du Manuscrit G Huygens écrit à propos des figures de Pardies des chapitres nommés: Ces 5 lignes [Fig. 37] font avec leur prochaines des angles tous égaux au point B. Et leur parties CC font égales.

Le P. Pardies pag. 138 des forces mouvantes conclud d'icy que le centre de gravité de ces lignes fe trouve dans celle du milieu BA. ce qui n'efi: point vray généralement.

Si les verges égales bb [Fig. 38] prefTent la corde AB en s'cloignant du point C, le P. Pardies dit qu'elle fe courbera en cercle ou en ellipfe dont le foier oppofè fera C, J'avoue que fi la longueur de la corde A^B efl: égale a la periferie du poly- gone infcrit dans un arc de cercle décrit du centre C par les points A B, alors cette corde fe courbera circulairement, c'efl: a dire fuivant le dit polygone. Mais quant a la figure Elliptique fa demonftration ne le prouve pas; et il y a bien autre chofe a confiderer. Car que diroit il fi la corde gardant la dite longueur les verges

64

STATIQUE.

VII, B. § 5.' Sliflineatur pondus P [Fig. 39] flinibus in diverfa trahentihus ') AB, BC. Duftaque BE ad horizontem perpendiculari agatur ex quolibet in ea pundo E, refta EF parallela AB, ac funi CB occurrens in F, Dico ficut EB ad BF ita effe pon- dus P ad momentumquo trahiturfunisCB; hoc efl: fi funis BC ducatur fuper trochlea in C pofita, partique quae deinceps efi: appendatur pondus D, quodfe habeat ad P. ficut FB ad BE, dico fieri hoc modo œquiUbrium.

Si enim fieri poteft, prœponderet D ac defcendendo ad R attrahat punétum B in G,

bb la prefibient comme en s'ecartant d'un point plus proche D, qui alors ne peut pas eftre le foier de rEllipfe,

^') Dans le cas des forces tirantes E et F les moments des tensions E et F des cordes BO et CO autour du point G, interseftion de AB et DC prolongées, doivent être égaux, puisqu'ils sont égaux l'un et l'autre au moment de la tension de la corde BC par rapport au même point. On peut en conclure que les composantes des forces E et F perpendiculaires, respe<ftivement en B et en C, à BC ont même moment par rapport au point où OG prolongée coupe BC. Ce point d'inter- seftion est donc le centre de gravité de poids Ep et Fp placés en B et C, où Ep et Fp désignent la grandeur des composantes perpendiculaires nommées. — On arrive au même résultat en con- sidérant des déplacements virtuels des points B et C analogues à ceux de la Fig. 34 — G étant le centre instantané de rotation de la corde BC — , et en écrivant que la somme des travaux virtuels des tensions E et F est nulle.

Nous ignorons si c'est bien des poids Ep et Fp que Huygens a voulu parler.

5) Leçon alternative: divergentibus.

STATIQUE.

65

Ut funis jam fit AGCR '^). Et ducatur BH perpendicularis in AB, et occurrat ei re6ia. KGH quse per pundhim G perpendicularis ducitur in BC. Sitque HL perpendicularis in EB. Eft igitur angulus BHL îequalis ABE, quia uterque feorfim cum angulo LBH redum efficit. Similiterque angulus BHK îequalis ABK quia uterque cum angulo KBH reélum efficit. Sed BL eft: ad BK ut finus anguli BHL ad finum anguli BHK. Ergo BL ad BK ut finus anguli ABE, feu BEF, ad finum anguli ABK, feu EFC vel EFB. hoc eft: ut FB ad EB, quia trianguli cujusque latera eandem inter fe rationem habent quam finus angulorum quibus ea fubtenduntur. Eft autem afcenfus perpendicularis punéti B per arcum BG major quam BL; quia femper punélum G altius quam H hoc eft quam L, Sed pondus D minus defcendit quam longitudine BK; quia tantum defcendit quanto CB longior eft quam CG, qui excefliis minor eft quam quo BC fuperat CK, hoc eft quam KB, quia fcilicet CG major quam CK. Itaque afcenfus punfti B feu ponderis P ad defcenfum ponderis D majorem rationem habet quam BL ad BK ideoque majorem quam FB ad EB, hoc eft quam pondus D ad P. Unde centrum gravitatis commune utriusque ponderis altius afcendiïïet. quod fieri non poteft.

[Fig. 40.]

prefîîonem quîe fentiretur in K.

VII, B. § 6. BC [Fig. 40] linea inflexilis fufpenfa funibus AB, DC. Si quis feftâ virgâ BC in F, prehendat extremum F, et fuftineat virga FB preflionem punfti B; eadem vi opus habebit ac fi virgâ FC fuftineat preflionem punfti C. quia alioquijunftisrurfus extremis utriusque virgas in F, pars magisprefta minus prefTam pelleret. ponitur autem virga BC manere.

Tanta eft preflio virgas FB ad fuftinendam BA, quanta traftio per funem MB ad hoc idem requiritur, hoc tamen demonftrari dé- bet, non fumi tanquam per fe manifeftum ^}.

AB funis [Fig. 41]. BC virga inflexilis. C annulus fixus per quem extenditur virga BC ufque in K, unde fùnis KCMD fuper trochleam M ducitur. Pondus îequare débet

<5) En marge: Si prajponderans dicatur P et punftum B defcendere in G, jam minus defcendet P quam per BL et D amplius afcendet quam per BK &c. ut in 3» figura [Fig. 39 No. 3].

7") Dans l'un et l'autre cas, il s'agit de l'équilibre de trois forces appliquées au point B. Il nous

9

66

STATIQUE.

[Fig. 42.]

P in G magis afcendit quam per BIl. D minus defcendit quam quanta efl: longitude BK. Sed ôLad BK [il y a deux lettres K dans la figure] ut BF ad BE,hoc eft ut D ad P ').

VII, B. §7 *). Hanc de curva Catense disquifitionem ulterius profecuti fumus pag. 82 3} et fequentibus. Definiendum quid petatur cum proponitur invenienda

semble donc assez évident que la tension de la corde BM dans le deuxième cas est égale à la pression exercée par la verge CB dans le premier. Dans le cas de la Fig. 35 Huygens avait d'ail- leurs admis lui-même comme évident cette équivalence d'une tension avec une pression.

') Lorsque les déplacements sont infiniment petits, on peut dire que BL représente l'ascension du poids P et BK la descente du poids D. Comme il appert qu'on a identiquement P. BL = D.BK, l'équilibre est possible, ce qui n'a rien d'étonnant, pour des poids P et D quelconques.

-) Le § 7 est emprunté à la p. 58 du Manuscrit G, datant de septembre 1690: les p. 57 et 59 por- tent respedivement les dates du 7 et du 25 septembre. Nous en avons déjà publié le début dans la note 5 de la p. 504 du T. IX et la plus grande partie dans le § II de la p. 503 du même Tome. Voir aussi sur le contenu des p. 58 et suiv. du IManuscrit les p. 500 — 501 du T. IX et les §§III et suiv. des p. 505 et suiv. du même Tome.

Le problème de la chaînette avait été mis à l'ordre du jour en mai 1690 par Jacques Ber- noulli; comparez la note 7 de la p. 497 du T. IX. Dans sa lettre du 9 oftobre 1690 à Leibniz Huygens rappelle (T. IX, p. 498) qu'il s'était occupé de ce problème déjà à l'âge de 15 ans.

3) La p. 82 du Manuscrit (numération de Huygens) est celle que nous désignons par p. 93.

STATIQUE. ©f

Curva fecundiim quam catena fleftitur. An ut pofitis x etj'normalibusitautxàpun- (fto in data refta accipiatur , œquatione aliqua referatur x ad y. An ut pofita quadratura circuli vel hyperbolae poflent curvîe qu^efitîe punéla quotlibet reperiri. An ut pofita dimenfione fpatijalicujusdenique,punétaiflainveniriqueant. An fufficit proprietates aliquas ejus curvae invenire.

Catena [Fig. 42] compofita ex virgulis îequalibus WS, SP, PG, GB et dimidia BA, quîe eft horizonti parallela. Catente internodium jSB horizonti parallelum ponitur, cu- jus dimidium AB. EidemintemodiofingulaBG,GP, PS, SW &c. œqualia. In (îngulis nodis pondéra sequalia adnexa intelliguntur.

CA AB

GO ad OB ut ^ ad ^ \

PV ad VG ut 2^ ad a f hoc facile abfque calculo poteft demonftrari, vid.

ST ad TP ut 3*^ ad al p. 92 +).

WX ad XS ut 4^ ad ^ )

Angulorum GBO, PGV, SPT, WSX &c. tangentes sequaliter crefcunt. Atqui BG, GP, PS, SW funt fequales. Ergo GO, PV, ST, WX funt finus angulorum quorum tangentes squaliter crefcunt, et BO, GV, PT, SX eorundem angulorum iunt finus complementorum.

VII, B. § 8 5). Melius fie. Catenje (eu fili fufpenfi œqualia pondéra innexa haben- tis, fi infimum internodium horizonti parallelum fuerit, erunt deinceps anguli reliquo- rum internodiorum cum piano horizontali taies, ut eorum tangentes crefcant fecun- dum rationem numerorum ab unitate incipientium i, 2, 3, 4, 5 &c.

Fundamentum omnium eorum quîe de Curva CatenîB [Fig. 43] reperimus '^). Fili gravitate carentis, et îequalia pondéra innexa habentis, tria quolibet internodia continua ac furfum tendentia, ita ad planum horizontale inclinantur, ut tangentes angulorum hujus inclinationis crefcant œquali excefiu.

Sint catenje pondéra îequalia innexa habentis A, B, C, D internodia tria furfum tendentia AB, BC, CD, etc. . . . Ergo confl:at propofitum.

'*) Notre p. 9;;^. Voir le § 8 qui suit.

5) Manuscrit G, p. 9j-, comparez les notes 3 et 4. La p. 92 porte la date du 28 mars et la p. 104

celle du 22 avril 1691. L'alinéa: „Catena;seu fili i, 2, 3, 4, 5 &c." a déjà été publié à la

p. 503 du T. IX. *) La partie „Fundamentum omnium Ergo constat propositum" de ce § a déjà été publié au

§ I de la p. 502 du T. IX.

68

STATIQUE.

[i-'ig- 43.]

• W

^-- r - -AM

Hinc fi infimum internodiorum quotlibet flierit horizonti parallelum, erunt tan- gentes angulorum inclinationis ad horizontem fequentium deinceps internodiorum in ratione numerorum ab unitate 1,2,3,4,5 &c. quia tune facile oftenditur primi et fecundi furgentium internodiorum angulos ad planum horizontalem habere tan- gentes ut I ad 2.

vin.

RUPTURE DE POUTRES ETC.

[1669, 167 1, 1688 OU 1689]

[Fig. 45-]

VIII, §iO. EC 00 tf [Fig. 44].

^d 00 pondus impofitum.

VIII, § 1. Pyramidem vel conum folidum [Fig. 45] aequali robore efle ubique ratione venti ^).

*) Les §§ I et 2 sont empruntés aux p. 220 et 221 du Manuscrit D. Les pj tel/ et 225 portent respeftivement les dates de juin et du 29 septembre 1669.

Nous ne reproduisons pas les quelques indications et calculs incomplets qui accompagnent la Fig. 44. Comme dans les lettres de 1662 de Huygens à son frère Lodewijk (T. IV, p. 194, 198), il doit s'agir ici d'une poutre horizontale homogène et impondérable d'épaisseur unifor- me, supportée aux deux bouts, dont le contour est formé par deux paraboles et possédant la propriété d'être partout également résistante. Nous observons que la poutre est en effet partout également résistante dans deux cas différents 1° lorsqu'elle porte partout une même charge par unité de longueur; 2° lorsqu'elle n'est chargée, d'un poids donné, qu'en un point (ou seftion) unique. En effet, il résulte, dans le premier cas, de l'équation du moment de rupture M =

P,x

pi(^x — Zj) de la p. 334 du T. XVI pour z^ = |jc et p^ = -. 2/^, (AC étant désignée

7°

STATIQUE.

[Fig.46.]

VIII, § 3 3). Donné dans l'aflemblee le 15 février [1672 ?], mais la conftruétion 2 ou 3 mois devant.

Problema. Sit trabs vel cylindrus muro obliqué infixus [Fig. 47) cujus feftio per axem, fafta piano ad mûri fuperficiem reélo, fit trapezium ABCE; feftio fuper- ficiei mûri refta BAH. Trahente autem potentiarecundumreftamECO,lateribus cylindri perpendicularem, donec cylin- drus rumpatur, oporteat invenire fecundum quam feftionem ejus fiet fraélio. Cylindri ipfius nulla gravitas confideratur.

Junélâ CA, fumatur ei îequalis CF. Dico cylindrum ruptum iri fecundum feélionem AF, faftam nimirum piano ad planum ABCE refto. Hoc autem conftabit fi oftenfum fuerit minori potentia trahente per ECO opus efie ad fradtionem fecundum feftionem AF quam fecundum aliam quamcunque.

ici par a, comme dans le T. XVI; non pas par 2^) M = P^xQi ). Pour résister comme

il convient au moment de rupture qui lui correspond, la surface d'une seftion droite quelcou-

que par un plan perpendiculaire à AC doit donc être proportionelleàA:(i ), où x est la

distance du plan de la seftion au point A. Dans le deuxième cas on trouve , en partant de la même équation, que pour une position donnée du poids 2^ (à distance x du support gauche) le mo- ment de rupture est maximum pour la sedion qui porte le poids 2</; et que, lorsqu'on déplace

le poids, ce moment de rupture est proportionnel à ;c (i ), de sorte que la poutre consi- dérée est alors aussi partout également résistante. ^) Huygens ne donne aucune démonstration de cette thèse, dont la vérité nous paraît bien dou- teuse. Il est vrai qu'on peut la démontrer d'après la méthode de la note 5 qui suit.

3) Le § 3 est emprunté aux p. 279 et 281 du Manuscrit D. Les p. 277 et 285 portent respedive- ment les dates du 18 juillet et du 19 septembre 1671. Les p. 278 et 280 contiennent aussi des Pièces latines où le même problème est traité. Le calcul de la p. 281 qui constitue la deuxième partie du § 3 peut être antérieur à la première, puisque la feuille 279 — 280 a été collée dans le Manuscrit.

4) Comme la suite le fait voir, Huygens adopte la théorie de Galilée (voir la note suivante); il s'agit donc ici de „rassoIutaresistenzaairesser rotto che è nel prisma, la quale assoluta resisten- za è quella, che si fà col tirarlo per diritto", c.à.d. d'une force normale à la seâion AB capable d'amener une rupture suivant cette se(5tion. La force correspondante pour une autre sedion AF est à la première comme la surface AF est à la surface AB, ou comme la droite AF est à la droite AB.

STATIQUE. 7 1

Ponatur potentia minima qu£e direéte trahendo ^') rumpere poffit cylindrum fecun- dum feftionem AB, referri reftâ BC. Et ducatur CG ita ut angulus CGB fiât sequalis angulo AFB. Erunt ergo triangula BCG, BAF fimilia. ac proinde ut BAad AF,hoc efl ut fedio fecundum BA ad feftionem fecundum AF, ita erit BC ad CG. Unde quum BC fit potentia direélè rumpens fiscundum feélionem AB, erit CG potentia direfte rumpens fecundum feélionem AF. Ducatur rurfus CH ita ut fiât angulus GCH z- qualis angulo FCA. Erunt ergo triangula fimilia GCH , FCA , quia et angulos ad G et F îequales habent ex conftruftione.

Efl igitur ut CF ad FA ita CG ad GH. Sicut CF ad 4FA, ac proinde etiam ut CG ad |GH, ita efl: potentia direftè rumpens fecundum feftionem AF ad potentiamquze ibidem rumpat cylindrum trahendo fecundum ECO ex Galileo ')• Ergo cum CG fit potentia direfte rumpens lecundum AF, erit ^GH potentia quœ trahendo per ECO rumpat fecundum eandem feélionem AF. Reftam vero GH hac conftruftione inven- tam minorem efi!e quam fi feftio cylindri faéla per A non feciflTet triangulum ACF ifofceles, facile perfpicitur; cum tune etiam triangulum HCG non fuerit ifofceles fu- turum. ideoque bafis ejus GH major quam nunc efl:, quoniam angulus ad verticem C magnitudine datus efl quippe asqualis angulo ACF. Omnium itaque feftionum per A faftarum ea quae minima potentia rumpitur per ECO trahendo, efl: feftio AF. Quod fi vero alia quspiam fedtio intelligatur parallela alicui earum qua; per A fieri poflunt certum efl: eam quîe fit per A minori potentia rumpi, quippe cujus punftum infimum quod hypomochlij vice ^} eft magis diflet a punélo C. Itaque omnium facillima ruptura erit fecundum feélionem per AF. quod erat ofl:endendum.

Inventa AF ut fupra, fi ducantur utrinque reélse AL, AK qu£e cum ipfa AF œqua-

s) „Discor.si e Dimostrazioni" de 1638 (Dialogo seconde, Prop. i, p. 1 14 et suiv.). Comme nous l'avons déjà remarqué à la p. 18 qui précède, Galilée ne considère point les déformations élasti- ques qui précèdent la rupture. Sa théorie de la rupture d'une poutre à seftion reflangulaire encastrée normalement dans un mur vertical provient immédiatement de la considération du levier destiné à soulever une pierre gisant à terre. Il considère la ligne la plus basse de la seftion auprès du mur comme l'axe par rapport auquel il faut prendre d'une part le moment de la force agissant à l'extrémité libre, d'autre part le moment de la résistance considérée comme une force normale au mur et appliquée à la ligne horizontale centrale (ou si l'on veut au centre) de la seftiop. Cette résistance est par hypothèse égale à la „resistenza" dont il est question dans la note précédente. Huygens, en se conformant à cette théorie primitive et manifestement insuffi- sante, l'étend même au cas où la poutre est encastrée obliquement. Il égale donc p.e. dans le cas où la rupture doit se produire suivant la sedion AL, le moment de la force ECO par rapport au point L au produit de |(droiteAL) par la résistance ou „potentia diredé rumpens" qui correspond à la scftion AL.

'') Comparez la fin de la note précédente. Le point par rapport auquel on prend les deux moments (voir toutefois sur la notion du moment statique les p. 336 — 341 du T. XVI) s'appelle '\ir.lmjy\wj dans la Mécanique d'Aristote (^^.oy)M = levier).

72

STATIQUE.

les angulos conftituant, eadem potentia trahente per ECO opus erit ad rumpendum cylindrura fecundum alterutram feélionum qu£e fecundum AL vel AK, quia tune triangulum GCH eadem qua fupra conftruftione eiFe(5him,utraque pofitione angulos H et G ad balîn eosdem habebit, nimirum quia triangulum hoc fimile erit alterutri triangulorum ACK, LCA, quae fimilia eife inter fe manifeftum efl. Idcirco autem et bafis utrobique eadem erit magnitudo, cujus femiflls defignat potentiam quje per ECO trahens ruptura fit cylindrum fecundum feélionem propofitam AL vel AK ').

[Fig.47.]

ex RL DO MD 00 d [do]

^bc + ba

ha — y?c-\-hx

VIII, § 4. Ubi rumpetur fi pondus pendeat ex D medio EF [Fig. 47] , trahatque fecundum DL muro MB paralielam.

'/■

-^/^DN

tf DO DO DO CP

ON DO \c

— ba ZD ^bc d co - — ' —

LBP

FL

-bb-^xx

eb^ -\- bxxe

bc-\-bx

^ ebb 4- exx^^. five { ; — ^

') Dans une des Pièces (note 3 de la p. 70) Huygens ajoute: ErgO nunquam ruptura fiet (quantacunque flierit longitudo trapezii) fecundum APperpendicularemlateribus parallelis AE, BC. — Ergo prismata omnia in quibus latus imum BC aequale refts CA rumpentur fecundum AB feélionem mûri. Vel etiam omnia in quibus CA ma- jor quam CB, cum intra murum rumpi nequeant.

') Dans le cas de la Fig. 46 le calcul eût pu avoir été exécuté comme suit. La résistance par unité

STATIQUE. 73

Ergoper regulamdeniax.etmin.5) o zo laexx — ecxx — ebhx + ex^

o 30 lax — ex — bb -\- XX ex — lax ■}- bb o:i ^x \/ aa — ac -\- ^ce -\- bb -\- ~c — a :x) x ]/ aa — ac -\- -ce -\- bb + ^e :f:> x -{- a.

Sumatur CS oo iPB, erit PS do ^ — if, et qu. SA OD aa — ac + ^cc + bb.

de surface, qm correspond h la rupture suivant cette surface, étant r, on a, dans le cas d'une

rupture suivant AF:

(Force ECO). CF = r (surface AF). ^AF

Ar AF^ » ou Force ECO = ' gp S

p étant la dimension de la poutre perpendiculaire au plan du papier.

AF^ Pour que la force soit aussi petite que possible, il faut donc que -pprSoitunmininium.C'est

là l'équation qui détermine la place du point Fauquel correspond la seftion AF suivant laquelle la rupture se produit le plus facilement.

Appelant z la distance du point F au pied de la normale abaissée du point A sur BC, on a

donc-.T^ , '" = min., ce qui conduit à 2 AEz-}- a' — EC^ = o ouAE + 2=V'AE- + EC^,

c.à.d. CF = AC.

De même, dans le cas de la Fig. 47, il faut que

(Force DSL). FL = r (surface AF). iAF,

A p2 FL

ce qui conduit à la condition ^f^j- = minimum, ou -tt^ 1= maximum. ' FL AF- /

FL e (b^ 4- x'^') '

Or, AF- =z i' -\- x^. Huygens fait voir que ^-^^ = A : -^ — ijr^- "1 ^^^^^ ^'^"'^ <1"^ <^^"^

dernière expression ait une valeur minimale.

ë (b- 4- x'^ 3) Huygens applique à l'expression — ^ — ^ ^ — qu'il eût pu diviser d'abord par e — la régie

modifiée de Fermât, qu'il exprime comme suit („Demonstratioregul£B de maximiser minimis", Divers Ouvrages de Math, et de Phys. par MM. de l'Ac. Royale des Se. 1693, p. 238): „Si termini quos maximum aut minimum designare volumus fraftiones habeant in quarum deno- minatoreoccurrat quantitas incognita Tum termini singuli numcratorem fraftionis consti- tuantes, ducendi in termines singulos denominatoris, produftaque singula multipla sumenda secundùm numerum que dimensiones quantitatis incognito in termino numeratoris differuntà dimensionibus ejusdem incognito quantitatis in termino denominatoris. . . quœdeniqueomnia «quanda nihilo". Cette méthode s'accorde d'ailleurs avec celle de Hudde, exposée dans son „Epistola secunda" à la p. 51 1 de l'édition de 1683 de la Géométrie de Descartes etc. par F. van Schooten (comparez la note 5 de la p. 360 du T. II).

10

74

STATIQUE.

ac + \cc -\- hb ■}- |-c, hoc eft oo .r + a.

Sit SF 00 SA, eritque jam CF y:) \/ aa

Ergo PF 00 jc quaefita.

Ergo fumca SC oo |-PB, fit A SAF ifofceles. quale fuiffet fi trabemSXAB traxifîem

fecundum SV. adeo ut appareat nihil referre an fecundum SV an SL trahatur, quod

fane ab initio animadvertere debueram '}.

[Fig.48.]

iX.

VIII, § 5 ^). Trabs reélangula vel lapis potius eam fonnam habens GC [Fig. 48]. Quœritur ubi fupponenda duo fulcra ML ^} quibus ita fuftineatur ut non magis peri- culi fit rumpi in medio AB quam in KQ vel MP, quibus locis fulcra (latuantur.

Sint portiones KF, PN finguls îequales KD vel MG. Et jungantur BK, BM.

Itaque portio KD asquilibris KF; ideo hjEc nihil pondérât ad rumpendum folidum fecundum AB, fed tantum particula EFBA; et ab altéra parte parcicula fimilis BN. Sed particule EFBA fegmentum quidem tenue AB tota fua gravitate prcmit Bmedium fulcrorum LM, fegmentum vero EF premit idem médium B ;ic fi tantum EH fufpen- fum effet ex B, quia diminuitur momentum prout accedit ad KQ. Atque ita tota por- tio AF ac fi trapezium ABHE penderet ex B. Eadem vero eft vis pendentibus ABHE, ABON ex B ad rumpendum AB junfturam, ac fi cuneus A tanto pondère incumberet trabi MKQP quam fine pondère confidero. Et hoc rurfus idem eft ac fi converfa figura

^) En efFet, d'après la note 2 de la p. 72, on a, dans le cas delà Fig. 47, lorsque la force appliquée

AF = est XSV, la condition -™- = minimum, et, lorsque la force appliquée est DSL, la condition

AF =

-pj— = minimum. Or, le rapport de SF à FL est constant, de sorte que les deux conditions

sont équivalentes, ce que Huygens eût pu apercevoir immédiatement. ^) Manuscrit G, p. 12b, datant sans doute de la fin de 1688 ou du commencement de i689;com-

parez la note i de la p. 58 qui précède. Comme nous l'avons dit à la p. 18, Huygens avait traité

en 1662 le même problème d'une autre façon. 3) En marge: Imaginons des rouleaux en M et L afin que rien n'empefche icy lerom-

pement en AB.

STATIQUE. 75

penderet trabs eadem fuper cuneo A , trahereturque in punftis K et M a trapezijs fingulisABHE,ABON.

Hic vero jam ut œquale periculum fit rupturae in AB, ac in KL ob pondus portionis KD, oportet trapezium ABHE duélum in diflantiam AK jequari portioni KD duels in diinidiam diftantiam KC, quia idem habet momentum ac fi totaportio penderet ex centro gravitatis fuîe. Hxc fiint calculi fundamenta.

Intelligatur rigida prorfiis trabs five lapis GC. Jam fi KD fulficit ad rumpendum in KL, etiam KF fiifficit ad efficiendam rupturam in eadem KL. Itaque quaeritur reftè quanta debeat efie portio NF ad faciendam rupturam in AB. Nam banc nihil impe- dient jam jundturœ KQ, MP. quippe aliunde abrumpenda?.

AK AB KE / ^^

a — X- h X I — - — EH

a — X

b AB

^^ +h

^-^ :o iAB + èEH

a — IX AE

DAEHB quafi fufpenfum ex B . . [- ab 2bx ^ ^ a — x a — X

AK co a — X diftantia

j _ abx + aab — abx — 2bxx — 2abx + 2.bxx produaum .... — — ' !

bx n KD

,j aab — 2abx bxx . ^.n ■

Idem 00 i-x diftantia

2 2 -

bxx — 2ax -\- aa zo xx . . produftum

l/^zaa — a OD x

Parallelepipeda ex métallo hoc modo fulcris impofita clariorem quam omni alio pofitu fonum edunt Etc. Comme cette remarque et quelques-unes qui fuivent ne fe rap- portent pas à la ftatique, mais à la théorie des vibrations et du fon, nous ne les publions pas ici. On les trouvera à la p. 368 qui fuit.

IX.

HYDROSTATIQUE.

Voir la Pièce N° 1958 (T. VII, p. 333), portant la date du 8 juillet 1673, dans lequel Huygens démontre le paradoxe hydroftatique de Stevin en appliquant le principe que le centre de gravité d'une mafle fluide (tout aulïï bien que celui d'un groupe de corps folides) ne peut monter fponta- nément plus haut qu'il n'était avant le mouvement. Il s'était fervi du même principe depuis fa jeu- nefle: comparez les p. 242 — 243 et 273 — 276 du T. XVII.

En 1686 Huygens appelle cette Pièce: „Demonft:ration de ce qui arrive dans l'expérience de Mr. Mariotte du tonneau avec un tuyau par deffus" (T. IX, p. çôy Mariette fit cette expérience „au Collège de Bourgogne en préfence de grand nombre de perfonnes", d'après la p. 214 du Jour- nal des Sçavans de 1678 (cité auiïî à la p. 242, note 3, qui fuit}, où l'on trouve une figure repré- fentant le tonneau.

DYNAMIQUE.

Avertiffement.

A la fin du premier Avertifïement de ce Tome nous avons dit (p. 9) que quoique Huygens Ibit acomifte, les forces admifes par tout-le-monde, telles que les tenfions des cordes ou celles exercées par les dents d'une roue, jouent un grand rôle dans Tes écrits. Ce qui était vrai pour les Pièces relatives à la Statique qui précèdent, rell éga- lement pour les Pièces fur la Dynamique qui fuivent. On n'y trouve rien fur la con- flitution moléculaire des corps. En particulier Huygens ne tâche pas d'expliquer la grandeur de la réfiftance qu'un mobile éprouve dans l'eau ou dans l'air par la confi- dération des particules qui conllituent ces milieux, comme Newton devait le faire, d'ailleurs fans rien affirmer, dans fon ouvrage de 1687 '). Comme Huygens le dira en 1 69 1 ^} la réfiftance du milieu efl: pour lui „comme une preflion , qui efl; comparée à celle de la pefanteur". „À Mr. Newton et à moy la rcfiftence eft la prefUon du milieu contre la furface d'un corps, etc." Apparemment les forces dont il eft queiHon dans la dynamique font de même nature que celles que confidère la ftatique: là auffi

') „Philosopliia? iiatiiralis principia matliematica", Lib. II, Sedio V, Prop. XXIII, Thcor. XVII, Scholiiim: „An vero fluida elastica ex particiilis se miitiio fugaiitibu.sconstent,qu;rstiophysica est. Nos proprietatem iluidorum ex ejusmodi particiilis constantium matliematice demonstra- vimus, ut pliilosophis ansam prxbeaniiis qua-stioncm iliam tniftaiidi".

*) T. X, p. 17 et 19. Dans la note 9 de la p. 19 du T. X nous avons annoncé la publication de la relation des expériences qui constitue !.i l'ariie V qui suit.

8o AVERTISSEMENT,

toutes les forces pouvaient fuivant Huygens être comparées à la pefanteur (p. 1 6 et 27 qui précèdent). Le § i de la Pièce de 1668 qui fuit dit clairement (p. 104) que la „vis gravitatis" et la „refiflentia aeris" font, pour un corps, ou plutôt pour un point matériel, lancé verticalement en l'air, des „caufa2 retardationis" pareilles. L'air, foufflant de bas en haut contre un globe en repos, ou traverfé par un globe tombant verticalement, lui enlève une partie de Ion poids (p. 106}. Pour tout corps punfti- foiTiie donné, c'eft le fondement du calcul de la Pièce IV ainfi que de la Pièce VI, l'accélération ou la retardation dans le fens du mouvement , efl: proportionnelle à la force agifîant dans cette direélion '). Dans le cas d'une réfiftance proportionnelle à la viteiïe du mobile (Pièce IV) le mouvement d'un globe lancé obliquement réfuke donc (p. 113, note 1 3) de la compofition des mouvements horizontal et vertical, les viteflesinitialesdecesmouvementsétantlescompofantesde la vitelTe initiale donnée ^}.

A propos du fondement mentionné, il importe de remarquer que Huygens ne parle qu'incidemment de la queftion de favoir fi les principes de la mécanique — voir fur les principes la p. ^(^'j du T. XVIII, ainfi que la p. 16 qui précède (principe des déplacements virtuels ou vitefTes virtuelles) — peuvent être démontrés par raifon. Voyez le p. 1 66 et 1 7 1 qui fuivent où il parle en 1 668 d' „un effet de la nature, qui ne s'eflant pu jufqu'icy 3) demonftrer par raifon mais feulement prouver par expérience, doit eftre pris pour principe" '^). Voyez aufll à la p. 1 64 le § 4 de la Pièce X, où il dit en 1686 que „[Leibniz] ne peut pas prétendre qu'on luy accorde ce principe de la confervation de la force motrice comme qui n'auroit pas befoin de preuve", en quoi d'ailleurs Leibniz (infpiré par les réfultats obtenus par Huygens, voir le § 3 de la Pièce X, et le dernier alinéa de la note 6 de la p. 359 du T. XVI) imitait /»/«5 ou moins Defcartes (§ i de la même Pièce), lequel fuivant Huygens (mais non pas fuivant le fentiment que Leibniz lui attribue) dérive „cette [faulfe] loy de la nature qu'il s'y

conferve conftamment la mefme quantité de mouvement immédiatement de

l'immutabilité de Dieu". Nous avons vu qu'en 1693 (T. XVIII, p. 471, dernier ali- néa, et p. 477, note i, T. XIX, p. 7 — 9) Huygens s'eft pourtant réfolu à confidérer

') Comparez les p. 482—483 et 496-498 du T. XVIII. *) Voyez aussi la note^i4 de la p. 20 du T. X. 3) Comparez la note 2 de la p. 475 du T. XVIII. '*) Comparez la note 6 de la p. 31 qui précède.

AVERTISSEMENT. 8ï

la thèfe que „nihil virium perditur aut interit nifi efFeftu edito et exftante ad quem producendum tantundem virium requiritur quantum efl id quod deceffit" comme un axiome.

Il faut bien qu'il y ait des axiomes : „nifi principium ponatur nihil demonftrari po- teft" (T. XVI, p. 114).

Bientôt après avoir confidéré géométriquement le mouvement d'un corps dans le cas d'une réfiftance proportionnelle à la vitefle, Huygens apprit par les expériences de 1669 (Pièce V} que la réfiftance efl: plutôt proportionnelle au carré de la vitefle. Il en tira la conclufion (p. 107, note 14} que fa fpéculation de 1668 était „falfa, lice t pulcherrima".

Mais il efl: permis de dire que la queft:ion de la méthode a ici plus d'importance que celle de la conformité avec l'expérience. On peut dire de ces paragraphes, ce que Huygens difait en 1691 (T. X, p. 23) feulement à propos de fes calculs de 1669 complétés plus tard, où la réfiilance efl: prife proportionnelle au carré de la vitefle (Pièce VI}, favoir que la „ratio inveniendi" efl: telle que fon „utiHtas ad alia quoque pertinet". Même vers 1691 Huygens ne publia d'aiUeurs point fa „ratio inveniendi" (T. X, p. 23 — 45). En 1690, talonné par la publication de Newton (Principia, Lib. II}, il pubha fans preuves dans r„Addition" au „Difcours de la Caufe de la Pe- fanteur" les réfultats obtenus en 1 668 et 1669.

A-t-il en 1668 et dans les années fuivantes gardé fa première Pièce pour lui-même fans en caufer avec qui que te fût 5}? C'eft ce qu'il efl: impoffible de favoir. En 1669 (fin du § 1 0 de la Pièce VB, à la p. 1 42} il parla à l'Académie d'un „traité particulier" qu'il pourrait confacrer à ces recherches. Les confl:ruftions et calculs de 1669 font cependant certainement reftés à l'état de brouillons'^}. Quant à ceux de 1668, un peu moins confus, les mots „hinc incipienda demonflratio" et „faciendîe propofitiones plures ut hue veniatur" (p. 1 18} indiquent qu'il fe propofait de les mieux rédiger, mais après 1669 il n'a apparemment plus été quefl:ion de ce projet. Et nous ne trou- vons pas dans les Regifl:res qu'il en ait rien communiqué à l'Académie, ce qui, il efl

5) Comparez sur son silence en d'autres occassions la note 2 de la p. 246 du T. XVII et les p.

483— 485 du T. XVIII. '^') T. X, p. 18. C'est de ces brouillons — voyez la note i de la p. 145 qui suit — que nous avons

tiré la Pièce VI. Ici comme presque toujours la division en §§ est de nous.

1 1

8a AVERTISSEMENT.

vrai, n'eft pas abfolument probant '). S'il en avait caufé à Paris avec Leibniz, il le lui aurait fans doute rappelé, ou bien Leibniz l'aurait dit, lorfqu'en 1690 et 1691 (T. IX, p. 367 etc., T. X, p. 18 etc.} les deux favants correfpondaient fur ce fujet; et il paraît aflez probable que fi Leibniz avait vu, en tout ou en partie, la Pièce de Huy- gens, il aurait donné au mot „réfiftance" le même fens que ce dernier. D'autre part en parlant de Newton — ilobferve p.e. (T. IX, p. 367) que „Mr. Newton [a traité de la réfifl:ance] plus amplement que pas un de nous deux" — Huygens ne dit nulle part que Newton pourrait avoir appris quelque chofe de fes recherches de 1668.

D nous femble donc probable qu'il a fait un myftère de la Pièce de 1668 ^); à cela près qu'il a annoncé à Oldenburg le 1 3 novembre 1 668 (T. VI, p. i'j6'^ qu'il s'était occupé de la théorie „de la cheute .... tant fans la refiftance qu'avec la refiftance de l'air". Il efl: toutefois certain que Huygens converfait avec Leibniz fur des queftions mathématiques pendant que ce dernier féjournait à Paris, c.à.d. depuis 1672. Voyez p.e. la note 1 2 de la p. 244 du T. VII 3}, et confultez auffi les notes 1 2 de la p. 1 47, 4 de la p. 149, I2delap.i5i et 3 de la p. 152 qui fuivent. Vers 1673 Huygens peut fort bien lui avoir donné quelque vague idée de fa méthode de 1 668 ; or, c'eft, peut-on dire, d'une méthode des fluxions que Huygens fe fert dans les confidérations géométriques fur l'accé'cration, la vitefle et le chemin parcouru qui nous occupent: le temps s'é- coule évidemment fans difcontinuité. Il efl: vrai que dans fon „Hiftoria et Origo Cal- culi DifFerentialis" Leibniz indique, d'après la note nommée du T. VII, que lors de fon féjour de quelques femaines à Londres en 1 673 '^) il était trop peu verfé dans la Géométrie pour avoir pu s'intéreflTer à la méthode des fluxions.

Huygens ne fe fert pas du mot „fluxus" ou du verbe „fluere", comme Neper et Cavalieri. Le feul nom qui fe trouve dans la Pièce de 1668 (§ 3) efl: celui de Galilée,

Au fujet de cette Pièce nous devons faire ici quelques brèves remarques de nature ithématiaue.

mathématique

') Voir la p. 40 (1. 4 d'en bas) du T. XVIII et la p. 179 qui fuit. Le lecteur a pu remarquer aussi (p. 18 du présent Tome) que Huygens parlait parfois à l'Académie de sujets qu'il n'avait pas bien rédigés auparavant.

^) Voyez le dernier alinéa de la note 2 de la p. 87 qui suit.

AVERTISSEMENT. 83

1°. Nous difons dans la note 19 de la p. 107 que Huygens admit à bon droit, que la courbe qui repréfente l'accélération du corps en fondion du temps ^^ eft néceiïai- rement une logarithmique, dès qu'il eut découvert que l'efpace compris entre l'axe des temps, deux ordonnées perpendiculaires à cet axe et la courbe eft proportionnel à la différence de ces ordonnées. Il le remarqua d'abord pour un efpace infinitéfimal; en concluant de là à l'exiftence de la même relation pour des efpaces finis on peut dire qu'il intégra une équation différentielle, quoique r„îequatio differentialis" ne fît fon apparition que plus tard : voyez la note 7 de la p. ici. Nous parlons (brevitatis caufa) des équations différentielles du mouvement qui fe rapportent au problème de 1 668 dans les notes 18 de la p. 1 07 et 4 de la p. 1 1 1 . Rien n'eft plus aifé aujourd'hui que d'obtenir par intégration, comme on l'a fait depuis longtemps, de l'équation

-T- = g — ^"^i s'appliquant à la chute verticale, ou -r- = — g — k-y, fe rapportant à

l'afcenfion (la réfiftance étant proportionnelle à la viteffe), la vitelTe — voir le N° 3 qui fuit — et enfuite le chemin parcouru en fonftion du temps, partant la hauteur atteinte par le projeftile et le temps qu'il met à monter et à redefcendre. Or, il eft clair que , dans cette intégration , le mouvement eft entièrement déterminé par l'équa- tion différentielle, dès que la viteffe initiale eft donnée. Puifqu'il s'agit d'un problème phyfique,il eft parfaitement permis d'admettre à-priori que la viteffe initiale étant donnée, le mouvement doit être entièrement déterminé. Ayant trouvé une courbe capable de repréfenter le mouvement, Huygens pouvait donc en conclure fans héfiter que c'était là la folution unique.

2°. Après avoir expliqué pourquoi on obtient une logarithmique dans le cas de la chute verticale (p. 107, note 19), Huygens ne prend pas la peine de dire pourquoi il en eft de même dans le cas de l'afcenfion. Les équations différentielles écrites ci-deflTus

font voir que dans le cas de la chute la viteffe v eft proportionnelle à (g — j~\ c. à. d.

dans la Fig 56 de la p. 108, l'efpace ABOP à (OT — OP) ou PT; d'où il fuit que la courbe A HP eft une logarithmique. Or, dans le cas de l'afcenfion la viteffe eft

3) Citée aussi à la p. 42 du T. XVIII (1. 2 d'en bas), *") Comparez sur ce séjour la p. 606 du T. XVIII.

S) Suivant la première interprétation de la Fig. 54. D'après la deuxième interprétation de la même figure elle représente la vitesse en fonftion du temps.

84 AVERTISSEMENT.

proportionnelle à f — ^ g\ c.à.d. dans la Fig. 54 de la p. 102, l'efpace GFDE à

(GF — GH) ou HF; d'où fe tire la même conclufion. Sachant que AFDI eft une logarithmique, on peut alors donner à la figure une deuxième interprétation.

3°. Une même logarithmique, confidérée à partir du même point, efl: prife par Huygens (p. 107, note 19, Fig. 55) pour la defcente comme pour Tafcenfion; dans le cas de l'afcenfion les vitefles (deuxième interprétation de la figure) font fituées à droite, dans le cas de la defcente elles font fituées à gauche de la courbe; pour un même temps à partir du commencement de l'afcenfion ou de la defcente la fomme des deux viteffes efl donc confiante, bien entendu en prenant dans le cas de la defcente une unité de vitefle deux fois plus grande '}. On voit le plus aifément qu'il en eft ainfi en confidérant que d'après les équations différentielles intégrées la vitefle eft

î; = ? (ae — ^^ — i) ^) pour l'afcenfion et u = ç (i — e — k^) pour la defcente.

Dans la Fig. 59 (p. ni, note 2} Huygens prend au contraire la même unité de vitefle partout. La courbe qui fe rapporte à la defcente fe raccorde alors à celle qui repréfente l'afcenfion: la retardation, et par conféquent la diredtion de la tangente à l'un et l'autre arc, font évidemment les mêmes pour la fin du mouvement afcendant et pour le commencement de la chute.

4°. Huygens ne donne (p. 118, note 3) la démonftration de fa conftruélion de la courbe du jet que pour la Fig. 61 qui repréfente le cas particulier où le projedlile eft lancé en l'air fous un angle de 45°. Mais on voit aifément, en confidérant le principe de cette démonftration, que dans le cas général elle eft à peu près la même. Suivant les propofitions du § 5 on a (Fig. 57) fpat. AVE : fpat. ADK = VS : DR et (Fig. 58) fpat. ADL : fpat. VDH = AM : VQ. Les efpaces qui repréfentent des montées ou des defcentes/"jd/ (où les v, compofantes verticales de la vitefle du projedlile à différents moments, font dans les figures des droites horizontales'), peuvent, par des relations de ce genre, être transformés, à un fadeur près, en des droites verticales. En plaçant ces dernières les unes à côté des autres de telle manière que leurs extré-

') Nous voulons dire que dans le cas de la descente chaque vitesse est représentée par une ligne double de ce qu'elle serait si l'unité était la même que dans le cas de l'ascension.

^) La vitesse initiale étant par hypothèse la „vitesse terminale" ^.

AVERTISSEMENT. 85

mités inférieures fe trouvent fur une même horizontale, p. e. à des diftances égales (le mouvement horizontal efl: uniforme), on verra pafler par leurs extrémités fupé- rieures une courbe, qui fe change en courbe du jet lorfqu'on multiplie toutes les or- données par un même faéleur.

5°. Peu de lefteurs, fans doute, auront la patience d'examiner en détail les conftruc- tions géométriques de Huygens, remarque qui s'applique d'ailleurs à une grande partie de fon œuvre. Tout en admirant fon ingéniofité, on conçoit bien, en jetant les yeux fur ces longueurs, que la recherche de méthodes plus efficientes s'impofait.

Mais on voit auffi qu'une longue préparation efl: néceïïaire, que les méthodes abrégées ne peuvent aucunement fe préfenter d'emblée à l'efprit humain.

Un trait caraélériflique de l'efprit de Huygens, nous l'avons indiqué plufieurs fois, efl: le défir d'être aufll exaét que pofllble, tant dans la conftruélion d'inftruments que dans les raifonnements mathématiques 3).

Sans doute, les infl:ruments de précifion qu'on pofTède aujourd'hui laiflent fort loin derrière eux ceux du dix-feptième fiècle, et l'on peut dire la même chofe à propos de l'exaétitude des expériences modernes comparées à celles du temps de Huygens. Peu enclin en général à exécuter lui-même de longues fériés d'expériences ou d'ob- fervations (comparez la note 17 de la p. 345 du T. XVII), Huygens a fait cependant quelques expériences — celles des Pièces XI et V qui fuivent *) — dont il dira plus tard (T. X, p. 19) qu'elles furent fort exaftes. C'efl: ici furtout qu'il faut fe rappeler que les écrits doivent être jugés d'après leur date ').

Il y a parfois chez Huygens une légère tendance quelque peu antique, nous femble-t-il, à admettre fans raifons fuffifantes la fimpHcité de la nature'^). Il dira

3) T. XVI, p. 348-349; T. XVIII, p. 5,0.

*) On remarquera que les expériences de la Pièce XI sont en partie antérieures à celles de la Pièce V, et que dans celles de la Pièce V il est question de celles de la Pièce XI. C'est pour nous con- former à la suite des sujets appartenant à la Statique (p. 21) que nous avons placé l'Hydrody- namique en dernier lieu.

5) Le leéteur du T. XVII sait qu'en observant les „anneaux dits de Newton" Huygens ne tint pas compte de la déformation élastique du verre, de sorte que les résultats furent loin d'être exacts.

") Voir les premières lignes des p. 214 et 215 du T. XV.

86

AVERTISSEMENT,

(Pièce VB, § 3 , au n° 2) que fi les réfiftances ne fe montrent pas parfaitement propor- tionnelles aux carrés des vitefles „cela vient peut eftre de quelque petit défaut qui s'efl: trouué dans l'expérience". Il parle de la „fpeculatio vera" (p. 107, note 14) et dit (p. 142) qu'on pourra maintenant „determiner exaétement . , , la proportion des efpaces que parcourent des corps pefants en tombant par l'air".

Ce qui reflbrt avec évidence de la fuite des Pièces IV, V et VI, c'efl: que les expé- riences de Huygens fe rattachent aux queftions théoriques qu'il confidérait, et que d'autre part fes théories fe rattachent aux expériences.

Il s'était déjà occupé en 1646 et en 1659 ^^ ^^ chute à travers un milieu réfiftant (T. XI, p. 73; T. XVI, p. 384). En 1661 (T. III, p. 320) il eft d'avis que ,,1'onne pourra pas réduire [1'] accélération [d'une boule de liège] a quelque règle certaine". Il connaiflait les expériences de l'Accademia del Cimento, de RiccioH (T. V,p. 101, de 1664) et celles qu'on faifait en Angleterre (T. V, p. 355, de i66i;T. VI,p. 277, de novembre 1668; T. XVI, note i de la p. 344 et p. 356). On trouve à la p. 20 du Manufcrit B datant de 1661 la figure du parachutifte que nous mettons ici fous les yeux du ledleur; comparez fur la parachute en forme de „voile quarré" la p. 142 qui fuit. Une des caufes immédiates de fon travail d'oélobre 1668 peut avoir été la

lettre de Mariotte de février 1 668 (T. VI, p. 177) qui venait de lire, fur l'avis de Huygens, les dialogues de Galilée et ad- met, comme ce dernier, que les corps tombants n'augmentent leur vitelTe que „jusques a vn certain point". En effet, Mariotte fuppofe „qu'vn vent foufflant de bas en haut puifle fouftenir une boule de lieige", ce qui efl: conforme à la confi- dération de Huygens de la p. 1 06 (déjà citée à la p. 80).

Les moulins (p. 140 qui fuit; voyez auffi la note 5 de la p. 88) et les voiles des vaifleaux font déjà mentionnés dans les programmes des p. 23 et 25 quiprécè-

AVERTISSEMENT.

87

dent. Il en eft de même de la force mouvante de l'eau et de la vitefle de fon écoulement. À la p. 1 42 qui fuit il efl: queftion de la mefure de la profondeur de la mer fuivant Merfenne '} (la Pièce de Huygens de 1 690 s'y rattache).

Enfin — lafl: not leafl: — il faut fe rappeler que dans le programme de la p. 23 Huygens mentionnait „ce qui regarde l'artillerie". À la p. 80 nous avons parlé de „corps punftiformes" ou de „globes" lancés en l'air; mais les Fig. 61 et 63 font bien voir que dans lapenfée de Huygens il s'agit en réalité de boulets ou de bombes. Les dialogues de Galilée eux auffi montrent que la détermination, exaéle ou approchée,

de la courbe du jet préoccupait furtout — comment en eût-il pu être autrement? — les princes et les capitaines^}. Déjà en 1646 (T. I, p. 34) Huygens connais- fait fort bien les „Cogitata phy- 'ficomathematica" de 1644 de Merfenne, dont fait partie la „Balliftica" 3). Perfonnellement il efl: animé, comme Merfenne, d'un efprit pacifique'^), et ce n'efl: certes pas dans des buts militaires qu'il s'intérelTe à l'art de voler 5). À la figure du para- chutifte nous ajoutons celle de l'avion mis en mouvement par deux hélices de la f 33r du Manufcrit G (datant probablement de 1689), à laquelle Huygens joint des vers grecs indiquant qu'il s'agit d'un rêve ^) :

VTvoç ère yXvKiuv ixeXiToç (iXe(pa,f)Oi(Tiv Ipi^uv Xva-ijxeXviç^ Treècccc [xûcXxku kcctx (pcièx èeTfJLOi.

machina volans '^)

') Voir sur l'appareil de Hooke pour mesurer la profondeur de la mer la note 8 de la p. 143 qui

suit. *) Notre T. XVI, note 6 de la p. 193. On peut consulter sur ce sujet L.01schki„Galileiund seine

Zeit", Halle, M. Niemeyer, 1927.

En parlant de l'œuvre de Tartaglia („Nuova Scientia", Venise, 1537) Olschki dit: „Es ist

eine triviale Wahrheit,dassderKrieg die technischenErfindungsgaben der Menschen bereichert

88 AVERTISSEMENT.

Nous avons dit (T. XVIII, p. 486) ne pas favoir fi les expériences de Huygens fur les cordes vibrantes furent prifes chez lui ou à T Académie. Il avait chez lui, c.à.d. à la Bibliothèque du Roi, d'après fa lettre du 3 décembre 1666 à fon frère Lodewijk (T. X, p. J^'J^^ jjune , . . chambre .... ou [fes] inftruments et machines [étaient] rangées". Sans doute y-prenait-il des expériences avec ou fans Couplet ^) ou d'autres afiiftants. D'après les §§ 2 et 3 de la Pièce V il paraît que les expériences fur la force

und verfeinert hat: aber erhat selten oder vielleicht niemals so entschieden wie dièses Mal theoretische Erkenntnisse gefôrdert".

Voyez aussi P. Charbonnier „Essais sur l'Histoire de la Balistique" (Paris, Soc. d'éditions géogr. marit. e"t colon. 1928). Notons que Charbonnier se trompe en disant que „L'artde jet- ter les bombes" de F. Blondel aurait été publié à Amsterdam déjà en 1669 (l'édition d'Amster- dam est de 1699). Cet ouvrage parut la première fois à Paris en 1683. D'après les Registres de l'Académie (T. VI, f, 139) le manuscrit fut prêt en 1678. Blondel considère la trajeftoire com- me parabolique et ne fait aucun calcul sur la résistance de l'air qu'il juge peu importante.

3) Voyez aussi les lettres échangées entre Mersenne, Const. Huygens père et Chr. Huygens en 1644— 1648(7. 1,p. 7i;T. II,p. 545;T. I,p. 558, 24, 73, 75, 78, 79, 87, 89, 92, 94; T.II,i 569).

4) Dans la dédicace de sa „Ballistica" Mersenne écrit: „Ista lœdunt, nostra ludunt".

A Papin qui lui écrit (T. IX, p. 565) qu'il veut construire „le vaisseau de Drebell" de sorte qu'on pourrait „couler à fonds tous les vaisseaux" Huygens répond (T. X, p. 1 76) : „I1 faudroit faire servir vostre machine a pescher les débris des vaisseaux, et les perles plutost qu'à faire la guerre".

Dans le Manuscrit C (p. 251 datant de la première moitié de 1668) Huygens copie une page du Lib. 23 des „Historiarum 11. XIV — XXVI de l'auteur romain Ammianus Marcellinus; elle traite de la construftion de la „ballista" et du „scorpio". Il s'intéressait évidemment à ces in- struments de guerre en sa qualité de technicien.

5) Journal de Voyage 1660/1661 (13 décembre 1660, p. 137 de l'édition Brugmans, mentionnée dans le T. XVIII): Le duc de Roanes me vint veoir et après Pafcal, parlasmes de la force de l'eau raréfié dans leur canon et de voler. Le duc s'intéressait aussi aux moulins et induisit Huygens à en faire venir des descriptions de Hollande (T. VI, p. 124, 156, 173, 202; années 1667 — 1668).

*) Des„machines volantes" de petite dimension pouvaient évidemment être construites en dehors de toute théorie; voir p.e. les p. 85 et 94 du T. I.

') Les vers ÛTrvoç Ôte yXuxt'wv lUltzoç pksfipoiQiv èytÇwv

XuatfisXijç TTScSaa paXaxiâ xaxà. fisa. âsG^io

(le verbe de la deuxième ligne est xara7rs!?âw) sont de Moschos, poète bucolique du deuxième siècle de notre ère (p. 103 des „BucoIicarum grscorum Theocriti Bionis Moschi reliquis, re- censuit H. L. Ahrens", Lipsia?, Teubner, 1909. — Moschos, Carmen I, Eùpojnn, v. 3 — 4). Il existe d'ailleurs depuis le seizième siècle beaucoup d'éditions de Moschos et des autres poètes bucoliques.

AVERTISSEMENT. 89

mouvante de l'air prifes dans la cour de la Bibliothèque furent précédées, comme cela fe conçoit, par la conftruélion d'un modèle de l'appareil; fortant, penfons-nous, du domicile de Huygens.

Les Pièces II, III, VII, VIII et IX font fort brèves. La Pièce II n'a de l'intérêt qu'au point de vue de la brièveté des formules. Dans la Pièce III on peut remarquer, comme partout ailleurs, que (i Huygens défigne un temps, une vitefle, etc. par une lettre, c'efl: toujours après s'être figuré ce temps ou cette vitefTe par une ligne droite (ou parfois par une furface, comme dans les Pièces IV et VI). On remarquera aufli dans la Pièce III la façon correfte dont Huygens prend en 1 690, quoique fans fe fer- vir du fymbole dx de Leibniz (p. 45 1 du T. IX), la différentielle d'un radical.

La Pièce VII (mouvement roulant fur un plan incliné) a été écrite immédiatement après que Huygens eut trouvé le théorème que la force vive totale eft la fomme des forces vives du mouvement progrefïïf et du mouvement de rotation autour du centre de gravité (T. XVIII, p. 433 — 436). Il réfulte de ce théorème que le mouvement progreffif eft d'autant plus lent que le mouvement de rotation abforbe une plus grande partie de la force vive. Voyez fur le calcul des moments d'inertie les p. 419 — 426 du T. XVIII.

La Pièce VIII indique que les tenfions dkns un corps tournant font indépendantes du mouvement progrelfif confidéré en cet endroit (principe de relativité pour les tranflations uniformes).

La Pièce IX eft de nature expérimentale; toutefois, il femble s'agir plutôt d'expé- riencesprojetéesqued'expériences réelles. Si Huygens avait férieufement expérimenté fur la coUifion de cylindres, il aurait fans doute conftaté que les obfervations ne con- firment pas toujours exactement fa théorie de la collifion des corps durs (p. 8 qui pré- cède): voir la note 11 de la p. 17 du T. XVI. Huygens parle ici de la „fiftuca" ou „feftuca", ce qui fignifie le poids mobile d'un appareil pour enfoncer des pilotis (fon- nette à déchc; en hollandais: heimachine, dérivé du verbe heien) comme on en voit fouvent chez nous, aujourd'hui comme au dix-feptième fiècle. Nul n'ignore qu'Am-

8) Voyez sur Couplet la p. 300 du T. VI. D'après la p. 290 des „Anecdotes de la Vie de J. D. Cassini [le contemporain de Huygens] rapportées par lui-même", faisant partie des „Mé- moires pour servir à l'histoire des sciences et à celle de l'Observatoire Royal de Paris etc." par J. D. Cassini, arrière-petit-fils du précédent, Paris, Bleuet, 1 8 10, Couplet était le gendre deBuot.

12

90 AVERTISSEMENT.

fterdam eft bâtie fur des pilotis. On peut fe figurer qu'il écrivit la Pièce après avoir vu une de ces machines à l'œuvre ').

Voyez fur la queftion du travail la note 2 de la p. 1 60.

Dans leur enfemble ces petites Pièces font bien voir, avec les Pièces IV et VI, que Huygens envifageait la poflibilité, lontaine fans doute, de donner de tous les phéno- mènes une explication mécanique correfte.

Il fe trompe toutefois en admettant le 1 3 février 1 669 ^) pour un jet non con- traélé 3) à la fois la loi de Torricelli fur l'écoulement de l'eau — à de petites différen- ces près *) — et la thèfe ') que la prefllon de l'eau fortant d'une ouverture eft „egale a celle du.poids du cylindre d'eau [nous défignons la hauteur par A] qui a l'ouverture pour bafe-"; thèfe qu'on trouve également chez Mariotte dans fon ouvrage de 1 6^6 ^) et dont Daniel Bemoulli dira en 1738 "): „Huic fententiîe plerique, imo omnes, ad- hîeferunt & adhserent" *). En effet, l'eau qui tombe avec une vicefle v fur la platine immobile de la balance, lui donne par féconde une impulfion 5Jî;% S étant la denfité de l'eau et 5 l'aire d'une feélion normale du jet , égale dans la penfée de Huygens à l'ouverture. Ceci peut s'écrire lèghSÇg = accélération de la pefanteur) en admettant la loi de Torricelli 9). Or, d'après cette formule l'impulfion du jet équivaut à la pres- fion d'un cylindre d'eau de feélion droite S et de hauteur 2/?, c.à.d. deux fois plus haut que celui dont parle Huygens,

Nous avons déjà dit à la p. i o du T. XVI que la théorie de l'impulfion n'avait pas encore été établie.

') On avait parlé de ce sujet déjà en juin 1668 à l'Académie française. Suivant les p. 74 — j6 du T. III des Registres Frenicle avait dit «qu'il seroit bon d'eprouuer la force de la percussion et de la cheute des corps pesants. . . l'on pourra aussy eprouuer en quelle proportion s'augmente l'aftion d'un corps pesant qui tombe de diuerses hauteurs et si elle suit en cela la proportion de leurs vitesses".

*) P. 120.

3) Voyez ce que nous disons un peu plus loin sur l'expérience du 16 février.

*) Voyez la Pièce d'août 1668 à la p. 170 qui suit.

5) P. 121.

^^ Cité aux p. 137 et 176 qui suivent. Mariotte dit (II. Partie, III. Discours. II. Règle): „L'eau qui jaillit au dessous d'un réservoir par quelque ouverture ronde, fait équilibre par son choc avec un poids égalau poids du cylindre d'eau qui a pour base cette ouverture , & pour hauteur celle qui est depuis le centre de l'ouverture jusques à la hauteur dç la surface supérieure de l'eau".

7) À la p. 289 de l'ouvrage cité à la p. 176 qui suit.

AVERTISSEMENT. p I

Trois jours plus tard, le i6 février 1669 '°), Huygens crut découvrir que la loi de Torricelli eft parfois fort inexaéle „ce qui n'eftoit pas fa cil e a deviner": il conftata que dans fon expérience la quantité d'eau fortie de l'ouverture n'était que les deux tiers de celle à laquelle il s'était attendu, et comme il ne fongeait apparemment pas à une contraélion du jet "}, il conclua „que toute l'eau qui fort par le trou du vafe n'a pas autant de vitefle qu'auroit un corps en tombant de la furfàce de l'eau".

Quant à la thèfe de Huygens du 1 3 février 1669 fur l'impulfion — thèfe inexafte, nous l'avons dit, dans le cas d'un jet non contraélé, et dont il n'avait pas tâché de donner une démonftration théorique — elle fut confirmée par les expériences du 3 avril 1669 '*). En réalité, cette confirmation était certainement due à la contraélion du jet. M. J. M. Burgers '^^ nous écrit : „La valeur du coefficient a de contraélion — rapport de la feélion droite du jet à l'ouverture — eft une fonftion des particularités de la forme du trou et dans une certaine mefure aufli de la forme du vafe, particula- rités dont dépend la répartition des preffions et des fous-prefllons fur les parois dans le voifinage immédiat du trou. Ce n'eft que dans des cas exceptionnels que l'on peut calculer a priori la valeur de ûc. Des expériences ont montré que pour un trou circu- laire bien aménagé dans une paroi mince on peut admettre « = 0,61 à 0,64 ^*'). Dans

8) En 1742 's Gravesande, dans la troisième édition de ses „Physices elementa mathematica" (Lib. III, Cap. XII, p. 499) dit encore que r„impetus" ou „pressio". . . „valet Pondus Colum- nx Fluidi, cujus Basis est apertura, per quam exit Fluidum, & cujus Altitude est ipsa Altitude Fluidi supra aperturam". Musschenbroek dit la même chose dans ses „Beginsels der Natuur- kunde" (2'*""= éd. 1739', § 758, p. 402).

Dans la première édition de ses „Principia" (1687) — Lib. II, Seâio VII, Prop. XXXVII, Probl. IX, p. 330 — Newton dit également: „si foramen obstaculo aliquo occluderetur, ob- staculum sustineret pondus aquœ sibi perpendiculariter incumbentis, & fundum vasis sustineret pondus aquœ reliqua... unde consequens est, quod motus aquae totius effluentis is erit quem pondus aquœ foramini perpendiculariter incumbentis generare possit". Mais il en conclut que l'eau a en sortant une vitesse telle qu'elle ne peut s'élever qu'à la hauteur ^i&. Dans la deuxième édition (17 13) cette proposition a subi de grandes modifications. Newton admet maintenant que l'eau sortante peut s'élever à la hauteur b (conformément à la loi de Torricelli) et un des corollaires dit que la „vis, quâ totus aqua* exilientis motus generari potest" est égale au poids du double de la colonne considérée de hauteur b.

') En prenant v' = 2gb nous supposons le plateau de la balance assez près de l'ouverture [Fig. 66 et 6y de la p. 120], mais non pas à une distance si faible qu'elle empêche plus ou moins l'é- coulement de l'eau; comparez la note 5 de la p. 121.

"*) P. 173.

' ') Newton parle d'une contraftion linéaire de J environ. Or, le carré de | est en effet à peu près égal à f .

")P-i23— 124-

'3) Professeur d'aérodynamique à l'Université (Technische Hoogeschool) de Delft.

92 AVERTISSEMENT.

ce cas ou aurait lèghS = environ 1,25 èghS. Pour des diamètres fort petits du trou cette valeur peut devenir encore plus petite par le frottement" '). Ainfi s'explique l'égalité approximative, dans les expériences du 3 avril, entre l'impulfion de l'eau et le poids du cylindre d'eau de volume hS^ l'impulfion fe montrant toutefois un peu plus grande.

Ceci fait bien voir qu'il ne faut accepter que cum grano falis les raifonnements et les conclufions de Huygens.

On peut remarquer que, tandis que les forces exercées par l'eau qui s'écoule dans les conditions indiquées font théoriquement proportionnelles au carré de la vitefle, il n'en eft pas de même dans le cas d'un objet tiré par une corde à travers de r„eau immobile" ') : la réfiftance dépend alors de la viteffe d'une façon fort compliquée bien que — nous citons de nouveau M. Burgers — „dans certaines conditions , par exem- ple pour des corps à des arêtes vives, des régimes fe préfentent dans lefquels la pro- portionnalité au carré de la vitelTe fe trouve réalifée". Il eft vrai que Huygens ne cherche pas à établir une théorie du phénomène; il ne fait qu'énoncer le réfultat des expériences en difant „que les impreffions de l'eau contre une mefme furface font [approximativement] comme les quarrez des viteffes" '); mais en ajoutant „que la première expérience qui pefe l'imprefllon de l'eau par la balance quand elle fera bien affermie eft la plus aflurée de toutes", il établit peut-être un lien trop étroit entre les deux genres d'expériences ♦).

Une remarque analogue s'applique aux expériences fur la force mouvante et la réfiftance de l'air.

'4) Nous avons en effet trouvé « = 0,64 (ce qui s'accorde bien avec l'évaluation de Newton) dans une série d'expériences faites avec une ouverture circulaire de 3 mm. de diamètre; et nous avons constaté que la vitesse d'écoulement de l'eau de différait pas sensiblement de celle donnée par la loi de Torricelli. Une ouverture en forme de cône tronqué se rétrécissant vers le bas donnait « = 0,86 (par rapport au cercle inférieur); même remarque pour la vitesse.

') Dans ce dernier cas c'est donc la vitesse qui est trop faible, autrement dit, la loi de Torricelli est en défaut. Si, dans les expériences de Roemer et Picard de 1679 (p. 173 qui suit), les ouvertures grandes et petites ont été toutes de même nature, il semble que c'est surtout par le frottement que les petites aient donné trop peu d'eau: en effet, l'accord du débit des grandes avec la règle de Huygens fait voir que celles-ci au moins ont dû être telles qu'il n'y avait guère de contraftion des jets, ce qui est absolument possible.

») P. 122.

3) P. 123.

4) P. 127. De même les Registres de l'Académie disent (notre § 6 à la p. 124): „Pour exami- ner encore d'une autre manière la force de l'eau courante on prit uu canal de bois., ."

DYNAMIQUE.

I. Programmes (se rapportant aussi X la statique).

II. Oscillation du pendule simple.

m. Chute brachistochrone le long d'une droite brisée.

IV. Théorie de i 668 du mouvement d'un point pesant dans un milieu dont

LA résistance est PROPORTIONNELLE X LA VITESSE DU MOBILE.

V. Expériences de i 669 sur la force de l'eau ou de l'air en mouvement et

SUR LES résistances ÉPROUVÉES PAR DES CORPS TRAVERSANT CES MILIEUX.

VI. Théorie de 1669 du mouvement ascendant ou descendant d'un point

PESANT DANS UN MILIEU DONT LA RÉSISTANCE EST PROPORTIONNELLE AU CARRÉ DE LA VITESSE DU MOBILE.

VII. Mouvement roulant sur un plan incliné.

VIII. Tension de fils dans un corps en mouvement.

IX. Expériences sur la collision.

X. Considérations sur la conservation du mouvement ou de la force.

XI. Hydrodynamique.

XII. Remarque sur l'oscillation cycloidale du pendule triangulaire. Horloge

RÉGLÉE PAR la CIRCULATION DE DEUX BILLES PLACEES DANS UN CANAL PARABOLIQUE.

La figure dont il efl: queftion à la p. 171 qui fuit (note 3) doit avoir eu une forme telle que celle-ci.

r _i P

I.

PROGRAMMES.

[Voyez pour les programmes de Huygens qui fe rapportent à la dynamique (et à la ftatique) les p. 23 — 28 qui précèdent.

Confultez aufli les programmes généraux des p. 255 et 257 qui fuivent].

Les Regiftres de l'Académie des Sciences difent (T. I, p. 246 — 254) :

Le 26 Oftobre 1667. On a arrefté que M', de Roberual continûrales mechaniques '). M'. Hu- gens fera fon rapport du livre de M'. Borelli de vi percuflionis ^).

Le 4« et 1 1' Januier 1668 on a examiné des règles du mouuement de M^ Hugens. Le i8« de Januier M'. Hugens a continué fes règles du mouuement. Le 25' de Januier M^ Hugens a lu fon projet des Mechaniques 3).

Voyez pour le 4 février 1668 la p. 268 qui fuit et pour le 15 février la note 2 de la p. 37 qui précède.

*) Comparez la note 2 de la p. 181 qui suit.

*) Voyez sur la publication de Huygens lui-même sur la percussion (de 1669) le § 3 à la p. 164

qui suit. 3) Le T. I dit encore (p. 248): „Le 14' Janvier 1668 M^ Carcavi a leu a la Compagnie en extrait

des projets que chacun avoit donné";.(p. 250): „Mercredy prochain [le 25 janvier 1668] on

fera le plan des Mechaniques". Etc.

ii;^

OSCILLATION DU PENDULE SIMPLE.

Ut quadratum diametri ad quadratum circumferentiae ita dimidia longitude penduli ad fpatium defcenfus perpendicularis tempore unius ofcillationis *} ejufdem penduli.

[Fig.49.]3)

y'W

AB pendulum 3,0.8.1. *} fecunda fcrupula lîngulis ofcillationibus impendens.

tempus per DB ad tempus per AB ut ^ ad j/ 2rr [Fig. 49] 5) tempus per 2DB ad tempus per AB ut 2^ ad |/ 2rr.

2rr

\qq

AB 00 4r /i^^ ^ / irr

laris tempore i ' fecundi "'}. fit 1 5 pd. i poil. '').

, fpatium defcenfus perpendicu-

') Manuscrit D, p. 160, datant de 1669.

^) Leçon alternative: tranfitus.

î) Comme on le voit dans la figure, r représente le quart de la longueur du pendule simple cycloï-

dal (ou du pendule simple non cycloïdal, exécutant une oscillation infiniment petite), et q le

quart de la circonférence de rayon r.

DYNAMIQUE. 97

*) C.à.d. la longueur du pendule à secondes est de trois pieds, et 8 lignes. Il s'agit de pieds parisiens:

comparez la note i de la p. 356 et la p. 431 du T. XVIII. S) Comparez le troisième alinéa de la p. 397 du T. XVI.

*^) La formule -^ représente généralement le „spatium descensusperpendicularistemporeunius

oscillationis", quelle que soit la durée de cette oscillation simple. Lorsqu'on désigne par / la longueur du pendule, de sorte que / = 4^, et qu'on écrit cj =z \ tz r — Huygens ne se sert pas encore du symbole r; comparez la note 3 de la p. 372 du T. XVI — le „spatium descensus, etc." s'écrit ^ tt^/.

Huygens désigne parfois par une lettre une vitesse ou une accélération , ou plutôt: il désigne parfois par une lettre unique (symbole algébrique) la longueur de la droite par laquelle il re- présente une vitesse ou une accélération; comparez la p. 89 de l'Avertissement qui précède. S'il avait désigné ici par une lettre non seulement l'accélération mais aussi le temps — comparez la note 2 de la p. 98 qui suit ■ — il eût pu, p.e. d'après les Prop. I et II de la Pars Secunda de r„Horologium oscillatorium" , écrire \gt^ pour le „spatium descensus" correspondant au temps

/■ et à l'accélération uniforme g. En égalant cette expression à —^, il eût pu en tirer la formule /= "4^ ou t = — 1= (ce qui, pour ^ = ^7rr ou W/, se réduit à / = Tr\/_; comparez la note

vgr vgi y g

2 de la p. 410 du T. XVI). 7) En substituant /= 3j^:^ (note 4) dans ^7r^/(note 6), on trouve à fort peu près iSj^' Com- parez les p. 356 — 357 du T. XVIII.

13

III.

CHUTE BRACHISTOCHRONE LE LONG D'UNE DROITE BRISEE.

[Fig. 50.]

<L-v,

[Fig- 5I-]

ia

% I '}. CB [Fig. 50] horizontalis œqualis AB perpendiculari. Inclinandum ab A efl: planum AN, ut defcenfus gravis per AN et curfus continuatus per NC fit omnium brevilîimus.

tempus per NC

-\/ aa-\- XX a f \/aa + xx tempus

per AN

h \/ aa + XX -X) d ^)

'\/ aa -{-XX zo d — ^a -\- \x

aa -{■ XX zo dd — ad + dx — ^ax + iaa + Ixx

^aa + ^xx + ^ax — dx — dd -\-ady:io XX + ^ax — ^dx + aa — ^dd + ^ad do o

') Manuscrit C, p. 240, datant de 1668. Huygens s'est apparemment posé la question de la chute brachistochrone de A en C. Ne se voyant pas en état de calculer la forme de la courbe brachy- stochrone — qui ne fut trouvée que peu après sa mort —il se borne aux cas considérés dans lesFig. 5oet5i.Le§ 2, où le calcul conduit aune formule assez longue, est dans le Manuscrit antérieur au § i : dans le cas plus simple du § i Huygens peut achever le calcul.

^) Dans la première de ces trois formules 2a représente la longueur du chemin parcouru par un corps se mouvant uniformément avec la vitesse acquise par une chute le long de AB ou de AN

DYNAMIQUE. 99

2Ji: + f ^ — 1^ CX5 O 3)

aa + 2ad — 2dd oo o X DO \/^aa.

§ 2 ■}. X y l/'^ax I ^J^- tempus per AE [Fig. 51]^)

DB EC temp. perDB _

1 /' — I ^"S — 3' \/ ax - ^^ ..

y — a — y ax I -^ ^-^ tempus per EC s)

/ 14' OC

V \/ ax . T-

tempus per AL

a — X

X

j ^y \/ ^x — 2^3^ \/^ax + ayx

adx — dxx a [/ ax — 2x\Xax+ax ■^

. 1 / — j yr — , aaddxx —^laddx^ -\- ddx'' )

a^x — Aaaxx + Aax^ — 2aax 1/ ax — Aaxx ]/ ax-\- aaxx do :

^ ^ y ' aa — lax + ixx

durant un temps égal à celui d'une chute accélérée le long de AB; l'unité de temps est choisie de telle manière que le temps nommé est représenté par a, La deuxième équation exprime que les temps nécessaires pour parcourir AB et AN d'un mouvement accéléré sont entre eux com- me ces deux longueurs (Horologium oscillatorium. Pars Secunda, Prop. VII). Par conséquent i/est le temps total du mouvement ANC.

3) C'est la condition pour que le temps d^ qui figure dans l'équation précédente, ait une valeur minimale (ou maximale), ce qui est trouvé en remplaçant x par x -{■ e(^e étant une quantité infiniment petite) dans l'expression précédente qui doit alors garder la même valeur: comparez le § 3. Huygens a aussi pu se servir de la méthode de Hudde (§ 3) qui d'ailleurs revient à peu près au même.

4) Comparez la note 2. Le temps d'une chute accélérée AD est \/~âx lorsque le temps de la chute accélérée AB est a.

5) La proportionnalité destemps correspondant aux chutes accélérées DB et EC avec les longueurs de ces droites — comparez la note 2 — subsiste lorsque les vitesses initiales égales ne sont pas nulles.

*) Comme dans le cas plus simple du § i, il faudrait examiner pour quelle valeur de x le temps d acquiert une valeur minimale.

^^^"

lOO

DYNAMIQUE.

[Fig. 52.]

§ 3 '). Dato pun(5lo C et akiori A [Fig. 52], et piano horizontali BL, invenire in eo pundlum B, ut per inclinata plana AB, BC fiât defcenfus tempore breviffimo.

Si AF defignet tempus per AF, etiam AB defignabit tempus per AB, et GB tempus per GB. Et fumpta GH média proportionali inter GB, GC ^), defignabit BH tempus per BC. Ergo fit BFI pars proportionalis ipfius BC 5). Ideoque problema eodem redit, ac fi LF effet fiaperficies vitri pofiti à parte Q et aëris à parte H, et qua^ratur pun- dlum refraftionis B, quia AB cum parte proportionali BC débet efTe brevifllma ^^3.

CD 00 c, AF DO ^, FD 30 ^, BF 00 x. minima linea e

h i -

-, , ; , q^ ce — Q-cx -\- XX -\- bb ^ ,

y aa + xx + ^-^ -— ! ■ ^f+ g

hoc efl: \/ aa -\- xx Ar lex + | \/ ce — lex + xx — ice-\- 2ex-\-bb.

Hoc h + i effet jequandum alicui maximo m fecundum methodum Huddenij '}.

ihi/xi ifg + lex — ^^^^ 1 — ^^— - ^

PP

PP

hi-

ex

qqex qqce

+

^fg

PP PP

Huygens porte ces expreiîîons au carré en négligeant les termes qui contiennent e"^. Il en tire une valeur de hl^ qu'on peut égaler au produit des deux expreflions h et i trouvées plus haut. Il en conclut : erit œquatio fextîe poteftatis x.

Per îequationem difFerentialem operando, fit squatio quartîe poteflatis x^ ut in charta adjunda ^).

") Manuscrite, f. 54, datant de 1690 (les f. 53 et 55 portent respeftivement les dates du 27 août

et du 4 sept. 1690). -) GH représente donc le temps d'une chute accélérée le long de GC. 3) Lorsqu'on a GB : GC = a: a\\\ en résulte BH : BC = I//7 : \/a + \/'a'. Dans la Fig. 52 a'

est désignée par a -\- b.

DYNAMIQUE. lOI

§ 4 8). f EC + CD 30 minimo [Fig. 53]

\/ ^^i> + txx + \/ aa — lax + xx + ce zo m.

%xe — lae + ixe

_s.

+ 1 / , , DO O 9)

i]/ ^bb + |xx 2 [/ <3r^ — 2^Jt: + ATX + ce

■g-^ ^ i~ OC

[/ ^bb + ^xx ]/ aa — 2ax + xx -\- ce

" '^xx XX — 2ax + aa

ÏÏT

DO

^^^ + ^xx aa — 2ax -\- xx + ce

l^aaxx — ^jax^+^jx'^+^jcexxco^bbxx—^abbx+^aabb+^x'^ — ^ax^+^aaxx.

'*) En effet, suivant Fermât — dont le calcul confirme la loi des sinusdeSnelliusoiide Descartes; comparez les p. 266, 267 et 340 du T. XVII — un rayon, partant du point A;, est rompu en un point B tel, que le temps total nécessaire pour atteindre l'œil C est minimum. Il faut donc

que AB 4 soit minimum, « étant l'indice de réfradion , c.à.d. suivant Fermât le rapport de

la vitesse du rayon dans l'air à celle dans le verre. Or, lorsqu'on prend « = - — î=^- — — ou

bien « = -, comme Huygens écrit un peu plus loin — la condition revient à rendre la «omme

AB 4- BH aussi petite que possible. laquelle somme représente le temps que met le mobile ici considéré par Huygens à parcourir AB et BC d'un mouvement accéléré.

5) La méthode de Hudde („Joh. Huddenii Epistola secunda" de 1658 „de Maximiset Minimis", p. 507 et suiv. de „R. Descartes Geometria, editio tertia" de 1683, avec commentaires de F. van Schooten etc.) est basée sur le fait qu'une expression (algébrique) à une variable étant égalée à une quantité déterminée différant fort peu de la valeur maximale ou minimale de l'ex- pression , cette équation possède deux racines à fort peu près égales. Dans le cas où l'expression contient des radicaux la méthode ne diffère pas de celle dont Huygens se sert ici.

**) Puisqu'il résulte de b + i — f-{- g, que 2hi — 2fg = f- -{■ g^ — {h"" 4- /^).

7) Leibniz emploie l'expression „equation differentiale" — dont il se servait, lui le premier, depuis plusieurs années — dans sa lettre à Huygens du 25 juillet 1690 (T. IX, p. 451). La présente remarque fut d'ailleurs ajoutée plus tard, semble-t-il. Nous ne reproduisons pas la „charta adjunfta" (qui est devenue la f. 219 des „Chart£e mathematicae"): le calcul qui suit (§ 4) en tient lieu.

8) Manuscr t G, f. 65, datant de 1690 (les f. 59 et 78 portent les dates du 25 sept. 1690 et du i janvier 1691). Dans la Fig. 53 ECD est un rayon de lumière réfradé en C. Il s'agit de trouver le point C , lorsque E et D sont donnés. Comparez les notes 4 et 7. Dans le § 4 Huygens donne

à l'indice de réfradion «, correspondant à - du § 3, la valeur particulière ^. Dans la „charta

q -1

adjunâa" (note précédente) il conservait la valeur générale-.

5') eest un accroissement infiniment petit de jf, donc, comme Huygens le diC;au§3,une„minima linea".

IV.

THEORIE DE 1668 DU MOUVEMENT D'UN POINT PESANT DANS UN MILIEU DONT LA RESISTANCE EST PROPORTIONNELLE À LA

VITESSE DU MOBILE.

De proportione gravium cadentium habita ratione refijîentia aeris vel aqua ').

'fu/3>jxa 28 Oél. 1668.

§ I . [Mouvement vertical de bas en haut.]

Sun to duo gravia furfum projeta. Gra- ve alterum R cui refiftit aer, alterum N cui non refiftit. Utrumque eadeni celeri- tate projicitur, tanta quantam maximam ex cafu acquirere potefl: R ''). Celeritas corporis N fit \ZI\ BN [Fig. 54].

Celeritas corporis R fpatium CADE aequale nimirum | | BN 3). Débet autem celeritas corporis R ab initio duplis de- crementis diminui ad décrémenta celeri- tatis corporis N. quia et aer et vis gravi- tatis îequaliter tune obfiftunt corpori R, fola autem vis gravitatis corpori N, Ergo CB ponenda oo ~QK, Et quam rationem habebit CN ad CE, eam habebit tempus afcenfus corporis N ad tempus totius as- cenfus corporis R. Spatia autem peraéla erunt ut cuneus fuper | | BN abfcifîus per BC ad cuneum fuper fpatio ACED abCcilTum per AC *). Quorum cuneorum foliditas cognofci potefl:, cum inveniatur centrum gravitatis fpatij ACED, eoque brachium ejus fuper AC ').

') Manuscrit D, p. 86 — ^j.

*) La vitesse initiale des deux corps montants est donc égale à la vitesse finale ou terminale acquise en descendant par celui des deux corps auquel le milieu résiste.

DYNAMIQUE. I03

Hic jam pono AFD eflTe lineam Logifticam de qua in libro B, et folio fequenci '^).

Sed aliter quoque et melius iftarum altitudinum ratio inter fe invenitur. Nam quum celeritas initie afcenfus ad eamquam perafto tempère aliquo CG adhuc fervat mobile R , fit ut fpatium ACED ad fpatium FGED , hoc efi ut AB ad F H (ex demonftratione paginœprsecedentisinitio) — rurfushocexproprietateLogifticse'') — patethinc,quod fi AB ponatur pro celeritate initio afcenfus, reliquse celeritates fenfim diminuentes per îequalia tempora reprefentabuntur reélis in fpatio ABD sequaliter inter fe diftan- tibus ac ipfi AB parallelis: ijfque in difliantias interjetas hoc eft in îequales temporis particulas duftis, fiet fpatium ipfum ABD menfura altitudinis ad quam mobile Rper- veniet, triangulum vero ABP menfura altitudinis ad quam mobile N eadem celeritate

3) Il s'agit des vitesses initiales égales des deux corps (note 2). Celles-ci sont représentées dans la Fig. 54 par des surfaces, c.à.d. par des sommes à nombre infini de termes, ou plutôt par des intégrales //d/, ou nous désignons le temps par /et la retardation par/. Dans la figure CS est l'axe des temps et CA celui des retardations. CB est la retardation de la pesanteur^. Or, la pesanteur peut, en agissant durant un temps CN sur le corps N, lui donner, lorsqu'il tombe, la vitesse représentée par le reftangle BN; BN est donc aussi la vitesse initiale correspondant à l'ascension, en un temps CN, jusqu'au point le plus haut atteint par le mobile. Quant au corps R, il ne lui faut qu'un temps CE pour atteindre sa plus grande hauteur; sa retardation est au début CA ou 2^ (voir la suite du texte) par suite de l'hypothèse faite sur la vitesse initiale du mouvement ascendant, et finalement ED ou g.

4) En effet, les espaces parcourus peuvent être représentées par des sommes à nombre infini de termes, ou plutôt par des intégrales /'î;d/, où nous désignons par v la vitesse de l'un ou l'autre mobile. Le troisième axe, perpendiculaire au papier, est donc aussi un axe des temps.

5) Comparez sur le calcul du volume des cunei ou troncs les p. 498 — 501 du T. XVI. D'après la terminologie de 1664(7. XVI) les solides ici considérés devraient plutôt être appelés ungulae ou onglets; il est vrai que tout onglet est aussi un tronc; comparez la note 9 de la p. 150 qui suit.

*) Nous avons publié au Vol. XIV, p. 460 — 47 i, la Pièce du Manuscrit B sur la courbe logistique ou logarithmique. Huygens dira plus loin (§ 3) comment il découvrit que, dans le cas de la résistance proportionnelle à la vitesse, la courbe AFDI de la Fig. 54 a cette forme. Pour le moment le lefteur est invité à admettre cette proposition sans démonstration.

7) Voici ce qu'on trouve à ce sujet à la page précédente du Manuscrit: Spatium ACGFad fpa- tium ACED [Fig. 54] ut FK ad DL vel KH. Invertendo et per converfionem rationis fpatium ACED ad fpatium GEDF ut KH feu AB ad HF.

Ceci eût pu être établi directement. En effet, ad admettant que AD est une courbe logarith- mique, on sait (T. XIV, p. 466, cinquième alinéa) que /'«/ilesespacesCADE,CAFG,GFDE etc. sont proportionnels aux différences (CA — CE),(CA — GF),(GF — ED) etc.:chacun d'eux est égal au produit de cette différence des perpendiculaires extrêmes par le „latus reftum", c.à.d. par la soustangente de la courbe (verticale dans la figure) laquelle a une grandeur con- stante.

Comme l'espace CADE est égal au redangle BN, le „latus reftum" est ici CN.

I04 DYNAMIQUE.

projeftum afcendet, quod hinc cognofcitur '), quoniam celeritates mobilis N repre- fentantur lineis in triangulo ABP parallelis ad AB, quae videlicet lineîe initio décré- menta fubdupla habent ad décrémenta parallelarum in fpatio ABD; hoc enim neccffe eft ita fe habere quia mobili N tantum una ex caufa retardatio contingit, nempe ex vi gravitatis, mobili vero R ex altéra prîeterea ifli œquali, nempe refiftentia aeris, fi- quidem celeritate terminali jnobile R projeftum ponitur. Pofito autem AC do lateri reéto, ac proinde tangente AN faciente cum AC angulum 45 graduum *) fit ut requi- ritur CZl BN DO fpatio ACED ^). Et CD proinde EP do fpatio ABD. Ratio autem I I EP ad triangulum ABP, hoc efl: altitudo afcenfus mobilis R "*} ad altitudinem afcenfus mobilis N 5}, erit ea proxime quse 616 ad 1000"}.

§ 2. [Mouvement vertical de haut en bas.] '').

/\ G AS — vide fig. magnam pag. fequentis [Fig. 55] ^) — ad fpatium AVS, ut fpatium defcenfus gravis N cui aer non obfiftit ad defcenfum gravis R cui aer obfiftit, eodem tempore peraélum, cum SG efl velocitas fumma quam R cadendo acquirere poteft, (quam velocitatem terminalem ipfius R voco). Ut autem A GASad fpatium AVS ita DG ad' VG. nam fpatium AVS sequatur Q^" fub BG, GV, quia fpatium ABGVXA aequale redangulo fub AS, SV, ex proprietate Unes 9).

') En marge : vel potius quia feéliones cunei difti fuper | | BN bafi parallèle funt inter fe ut applicatœ adjacentes in triangulo ABP.

*) Comparez sur le „latus rediim" la note 7 de la p. 103. Il est évident qu'on peut choisir les uni- tés du temps et de la retardation de telle manière que la tangente en A à la courbe fasse avec AK un angle de 45°. Comme la soustaligente CN est le „latus reftum", il faut alors que la re- tardation assoit représentée par une longueur CA égale à CN.

D'après la ^f«;c/d^»z? interprétation donnée dans le texte à la Fig. 54, CA représente non pas une retardation, mais le double de la vitesse initiale de l'ascension.

3) Cette égalité des deux espaces, déjà établie au début du § i , est indépendante de rhypothése faite en dernier lieu sur les unités.

4) Comme il a été dit plus haut, le reftangle EP représente la hauteur de l'ascension du mobile R d'après la deuxième interprétation de la Fig. 54, puisque (d'après la première interprétation de la figure) ce redangle est égal à l'espace ABD.

5) Il a déjà été dit plus haut que le triangle ABP représente, d'après la deuxième interprétation, la hauteur de l'ascension du mobile N. C'est ce qu'on voit immédiatement puisque CN ou BP est le temps de l'ascension de ce mobile et ABsa vitesse initiale (deuxième interprétation) qui décroît uniformément.

'^) C'est ce qui résulte du calcul suivant: d'après les propriétés de la courbe logarithmique, on a — voyez le deuxième alinéa de la p. 46 1 du T. XIV — CE [Fig. 54] = log. 2 , puisque C A est le double de ED. En prenant log. 2 = 3010, il faut donner au „latus reftum", CN ou CA, la valeur 4343 — T. XIV, p. 464 — , de sorte que ED = 4343 — 3010 = 1333. Le rapport con- sidéré a la valeur 2(1333 : 4343) ou à peu près 0,614 (0,616 suivant Huygens).

DYNAMIQUE.

ÏO5

[Fig. 55.]

AB 00 4343 qualium logarithmus 2 efl: 0,3010. GD 00 |AB DO 2172. log. AB 30 3-6377898

3.6377 log AB 0.4343 GB 30 AB

3.2034 log. 1597 00 GV'°).

Erit itaque fpatium defcenfus gravis N ad fpatium defcenfus gravis R ") ut DG ad VG. hoc eft ut 2172 ad 1597 five ut 1000 ad 735.

Ratio ell petita ex eo quod applicatis ordinatim quibuscumque FKN, OPT, reélœ KN, QT reprefentant velocitates gravis R acquifitas temporibus AN, AT, dum velocitates gravis N fiunt HN, PT. Hoc inveni ifto modo.

§ 3. [Pourquoi la courbe confidérée dans le cas du corps tombant ' ^} efl: une logarithmique.]

Reprefentavi mihi — vide fig. parvam pag. fequentis [Fig. 56] — celeritates acquifitas gravi cadenti motu naturaliter accelerato, incrementis reélangulorum

7) Comme dans le § i (note 6 de la p. 103, où nous renvoyons le lefteiir au § 3), il est admis pro- visoirement sans démonstration que la courbe considérée est une logarithmique; plus spéciale- ment: lorsqu'on prend la même unité de temps et une unité de vitesse deux fois plus grande — comparez b. fin de la présente note — que dans le cas de la deuxième interprétation de la Fig. 54Cvoir la note 2), on peut prendre la logarithmique, considérée à partir du même point, pour îa descente comme pour l'ascension. Dans le cas de la descente, les vitesses ne sont pas «iiuées à gauche: ce sont au contraire — voir la suite du texte — les horizontales À ^ro/V^ com- prises entre la logarithmique et la droite AS pour le corps R, tandis que pour le corps N qui n'éprouve pas de résistance, ce sont les horizontales comprises entre les droites AG et AS. La vitesse terminale du corps R (qu'il n'acquiert qu'après un temps infini, l'accélération de la pesanteur demeurant par hypothèse constante) est donc égale à BA ou GS, tandis que dans le cas de l'ascension (Fig. 54) cette môme vitesse (qui était alors la vitesse initiale) était représen- tée (deuxième interprétation de la figure) par la moitié de CA ou CN.

14

io6

DYNAMIQUE.

[Fig. 56.] miniinorumablineaABincipientiumeamque

latitudinem habentium, quae celeritates cum crefcant ficut tempora cafus, hinc temporum incrementa reprefentavi lateribus eorum reétangulorum ut AN, AT. Itaque fi AN, NT minimas temporis particulas inter fe x- quales efle ponamus, erunt celeritates illis temporibus acquifitœ reftangula AF, NO atque ita porro'^).

Rurfusconfideravi defcenfum corporis R, cui aer refiftit, quod ejus incrementa celeri- tatisnon funt jequalia temporibus îequalibus, ficut corporis N, fed diminuuntur magis ma- gisque, pro majori celeritate corpori R ac- quifita.Namficeleritatemillideorfiimdemus per aerem tantam quanta deberet efle cele- ritasaerisfiarfumflantis ad fijfl:inendum grave R ne defcendat, certum efi; tune refiftentiam aeris îequipollere moment© gravitatis, ac proinde grave R ea celeritate defcendens non acquifiturum majorem ex vi gravitatis, fed zequabilimotu defcenfiim continuaturum. Quod fi vero dimidio ejus celeritatis aer fiir- fum tendens, corpori quiefcenti R, putaex filo pcndenti, occurrat, jam dimidiimi ei ponderis auferet ''^).

Unde fequitur, quod cum corpus R cadens celeritate dimidia aerem penetrabit ejus quœ maxima illi acquiri potefl;, eo tempore incrementa celeritatis dimidia fore eorum qux habet initio defcenfus. Atque ita porro quanta pars erit celeritas corpori R ac-

*) On voit déjà dans cette figure la courbe du jet, sur laquelle on peut consulter les §§ 7, 9 et 10. 5*) Comparez la note 7 de la p. 103. '°) GB (égal dans la Fig. 55 à AB, voir la note 2 de la p. 104) étant l'intervalle entre AB et VG

(ou GV), vaut le logarithme de leur rapport d'où l'on peut tirer GV. ") Il s'agit d'espaces parcourus pendant des temps égaux. Les deux corps partent du repos. Celui

auquel le milieu ne résiste pas acquiert à la fin du temps considéré la vitesse qui, pour l'autre

(le corps R), est la „vitesse terminale". Comparez le quatrième alinéa de la p. 109. ") Voir pour le cas des corps ascendants le deuxième alinéa de la note 19 de la p. 107. '3) Dans la Fig. 56, comme dans la Fig. 55, BA est donc l'axe des accélérations, et BG l'axe des

temps.

DYNAMIQUE. I O"/

quifita celeritatis maxirnse acquirendîe, tanta pars erit momentum refiftentiae aeris, momenti ex vi gravitatis ''). quibus in contrarium nitentibus, oportet ut eorum dif- férencia determinet gradum accelerationis ratione gradus accelerationis in principio defcenfus cum aer nihil adhuc refiftit.

Hinc intellexi quod ficut incrementa celeritatis corporis, abfque aeris refiftentia